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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Reta tangente e plano normal

Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s t = cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   t , com t ∈ 0,2 π .

Encontre a reta tangente à curva descrita pela partícula no ponto 1 2 , 3 2 , π 6 .

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = 1 2 , 3 2 , π 6

⇒ cos ⁡ 2 t 0 , sen ⁡ 2 t 0 ,   t 0 = 1 2 , 3 2 , π 6

Igualando as três coordenadas, temos que:

t 0 = π 6

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = - 2 sen  ⁡ ( 2 t ) , 2 cos ⁡ ( 2 t ) ,   1

Passo 3

Calcular σ ' t 0 :

t 0 = π 6

σ ' t 0 = σ ' π 6 = - 2 sen  ⁡ 2 . π 6 , 2 cos ⁡ 2 . π 6 ,   1

⇒ σ ' π 6 = - 2 sen  ⁡ π 3 , 2 cos ⁡ π 3 ,   1

⇒ σ ' π 6 = - 2 . 3 2 , 2 . 1 2 ,   1

⇒ σ ' π 6 = - 3 , 1 ,   1

Passo 4

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 . t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 . t

r t = 1 2 , 3 2 , π 6 + ( - 3 , 1,1 ) . t

r t = 1 2 - 3 t , 3 2 + t , π 6 + t

Resposta

r t = 1 2 - 3 t , 3 2 + t , π 6 + t ,   t ∈ R

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