Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Cap. 13.2 - Ex. 32) (a) Determine o ponto de intersecção das retas tangentes à curva

r t = ( s e n   π t ,   2   s e n   π t , c o s c o s   π t )     nos pontos t = 0 e t = 0,5 .

(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos lá resolver essa questãozinha juntos?

O enunciado desse exercício aqui é bem direto e já passa pra gente algumas equações que serão importantes pra entender como vamos resolver. Então bora lá!

O objetivo aqui é determinar o ponto de intersecção das retas tangentes à curva, em dois pontos específicos. E o que significa isso? Nada mais é do que o ponto em que as retas tangentes vão se cruzar!

Ta, mas e agora? Como encontramos esse ponto?

Pra determinar o ponto onde retas tangentes se cruzam, a gente vai precisar encontrar a equação paramétrica de cada uma dessas retas. Pra isso, vamos precisar de um ponto, e um vetor que pertence a essa reta.

Bora começar encontrando essas equações então?

A primeira coisa a se fazer é obter o obter o vetor posição r ( t ) , dado no enunciado, nos pontos de tangência t = 0 e t = 0,5 = 1 / 2 , que foram os pontos que o exercício pediu pra gente.

Pra isso, basta substituir os valores do parâmetro t na equação da curva:

r 0 = 〈 ( s e n   0 ) ,   ( 2 s i n s i n   0   ) ,   ( c o s c o s   0   ) 〉 = ( 0,0 , 1 )

r 1 / 2 = s e n π 2 ,   2   s e n π 2 , c o s c o s   π 2         = ( 1 ,   2 ,   0 )

Passo 2

O segundo passo é calcular a derivada de r ( t ) que representa a equação geral do vetor tangente a esse curva:

r ' t = ( π c o s c o s   π t ,     2 π c o s c o s   π t ,     π   s e n   π t )    

Logo, nos pontos de tangência t = 0 e t = 1 / 2 , os vetores tangentes serão dados por

r ' 0 = (   π c o s c o s   0,2 π c o s c o s   0 ,   - π   s e n   0 ) = ( π ,   2 π ,   0 )    

r ' 1 2 = π c o s c o s   π 2 , 2 π c o s c o s   π 2 ,   - π   s e n π 2     = ( 0 ,   0 ,   π )

Passo 3

Agora que sabemos os pontos e os vetores de tangência é possível calcular as equações das retas tangentes à curva nos pontos dados.

A reta tangente em t = 0 é a reta que parte do vetor posição r ( 0 ) da curva e tem a direção do vetor tangente r ' ( 0 ) . Portanto, chamando essa reta de s ( u ) , temos:

s u = r 0 + u r ' 0 = 0,0 , 1 + u π ,   2 π ,   0 = ( π u ,   2 π u ,   1 )  

Já a reta tangente em t = 1 / 2 é a reta que parte do vetor posição r ( 1 / 2 ) da curva e tem a direção do vetor tangente r ' ( 1 / 2 ) . Portanto, chamando essa reta de w ( v ) , temos:

w v = r 1 / 2 + v r ' 1 2 = 1,2 , 0 + v 0 ,   0 ,   - π = ( 1 ,   2 ,   π v )

As retas se interceptam quando s u = w ( v ) , ou seja:

π u ,   2 π u ,   1 = ( 1 ,   2 ,   π v )

Logo, o ponto de intersecção da reta é ( 1 ,   2 ,   1 ) .

Passo 4

Por fim, vamos usar um software, onde colocaremos a equação da curva, juntamente com as equações das retas tangentes, e formar assim o gráfico pedido no item (b).

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

a) Ponto de intersecção: P = ( 1 ,   2 ,   1 )

b) Gráfico:

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