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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.2, M.E. 7

Considere a curva C parametrizada pelas equações x = t 3 + 3 t 2 + 2 t e y = 3 - 2 t - t 2 , possui um ponto de auto-inserção que está na reta y = 3 . Qual é este ponto e quais são as equações das retas tangentes a C em tal ponto?

a) 0,3   e   y = 3 ± x

b) 0,3   e   y = 3 ± 3 x

c) 1,3   e   y = 3 ± 2 x - 1

d) 1,3   e   y = 3 ± 2 x - 1

e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vamos lá, ele diz que o ponto de auto-inserção que está na reta y = 3 . Então vamos fazer:

y = 3

3 - 2 t - t 2 = 3

t t + 2 = 0

Então temos:

t 1 = - 2

t 2 = 0

Esses são os instantes onde a curva passa pelo ponto de auto-inserção.

Passo 2

Agora, para achar o ponto de auto-inserção basta substituir qualquer um dos dois instantes encontrados. Pra simplificar as contas, vamos escolher t 2 = 0 . Fica assim:

x 0 = 0

y 0 = 3

Então o ponto de auto-inserção é o ponto 0,3 .

Passo 3

A questão ainda pede a equação da reta tangente nesse ponto. Vamos calcular o vetor tangente:

C t = t 3 + 3 t 2 + 2 t , 3 - 2 t - t 2

C ' t = 3 t 2 + 6 t + 2 , - 2 - 2 t

No instante dado, t 1 = - 2 e t 2 = 0 , vamos ter:

C ' 0 = 2 , - 2

C ' - 2 = 2 ,   2

Passo 4

Agora é só achar a equação da reta tangente, que passa pelo ponto de auto-inserção, ponto 0,3 .Utilizando C ' 0 , vamos ter:

r λ = 0 + 2 λ , 3 - 2 λ ,   λ ∈ R  

x λ = 2 λ   ,   y λ = 3 - 2 λ

Colocando em função de x , temos:

y = 3 - x

Utilizando C ' - 2 , teremos:

r λ = 0 + 2 λ , 3 + 2 λ ,   λ ∈ R  

Colocando em função de x , temos:

y = 3 + x

Ou seja, a reta tangente no ponto de auto-inserção é:

y = 3 ± x

Resposta

a) 0,3   e   y = 3 ± x

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