Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 17)

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.

r t = < t e - t , 2 a r c t g   t , 2 e t >       ,   t = 0

Passo 1

E aííí gente, vamos lá pra mais uma questão envolvendo derivadas de funções vetoriais?

Nesse caso, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos encontrar o vetor tangente a essa curva no valor de t que foi dado, fechou?

Para fazermos isso, o passo a passo vai ser:

- Derivar r ( t )

- Encontrar o vetor substituindo r ' ( t ) com o valor de t que foi dado

- Normalizar esse vetor, dividindo ele pelo seu módulo

Então vamos lá!

Passo 2

Temos a curva

r t = t e - t , 2 a r c t g ( t ) , 2 e t

Derivando cada componente individualmente:

r ' t = - t e - t + e - t , 2 1 + t 2 , 2 e t

Show, já temos a derivada, agora vamos substituir o valor t = 0 , para encontrarmos o vetor

r ' 0 = ( 1,2 , 2 )

Agora precisamos normalizar esse vetor, pois queremos o vetor unitário, de módulo 1, sacou?

Passo 3

A norma do vetor encontrado é

r ' 0 = 1 2 + 2 2 + 2 ²

1,2 , 2 = 1 + 4 + 4 = 3

Dividindo o vetor r’(0) pela sua norma temos um vetor unitário de mesma direção e sentido de r’:

T 0 = r ' 0 r ' 0 = 1 3 1,2 , 2 = 1 3 , 2 3 , 2 3

Então, esse é o vetor tangente unitário 😊

Resposta

T 0 = 1 3 , 2 3 , 2 3

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