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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere

γ t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t , e t - π 8   , 0 ≤   t ≤ π 4

Considere a curva plana parametrizada β , obtida pela projeção de γ no plano x y .

  1. Encontre uma curva de nível C (no plano x y ) dada por f x , y = 0 tal que o traço de β está contido em C . Explicite f ( x , y ) .
  2. Escreva o vetor normal a C no ponto ( 2,3 ) e exiba a equação cartesiana da reta tangente à C em ( 2,3 ) .

Passo 1

i )

Primeiramente, vamos descobrir quem é a tal da curva β .

Se o enunciado diz pra gente que ela é a projeção da curva γ no plano x y , o que ele tá querendo dizer é que a curva β é igualzinha a curva γ , com a diferença de que nela nós temos a componente z = 0 . Assim

β t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t

Passo 2

Beleza, mas agora ele quer saber uma f ( x , y ) que contém a imagem de β , para, a partir dessa f ( x , y ) , encontramos uma curva de nível C dada por f x , y = 0 .

Isso significa que temos a equação paramétrica de β e partir dela, precisamos achar a equação cartesiana de β .

E essa equação cartesiana será a equação do gráfico de f ( x , y ) pois a imagem de β está contida na f .

Passo 3

Então vamos lá.

x t = 2 2 cos ⁡ 2 t

y t = 3 2 sen ⁡ 2 t

Não sei se isso te lembra a mesma coisa que a mim, mas olhando pra essa parametrização aí, com esse seno e esse cosseno, sendo multiplicados por uma constante, me lembra muuuuuuito a parametrização de uma circunferência e de uma elipse, que é bem parecida com a da circunferência.

Tá, mas então o que será isso? Elipse ou circunferência?

A resposta, meu jovem, é que isso é uma elipse!

E como eu sei disso?

Porque a constante que tá multiplicando o cosseno é diferente da constante que tá multiplicando o seno.

Beleza, agora que já descobrimos que essa curva é uma elipse, precisamos achar a equação cartesiana dela, ou seja, uma equação onde em vez do parâmetro t , temos x e y .

Vamos isolar o seno e o cosseno para fazer o que sempre fazemos quando eles aparecem: usar a relação fundamental da trigonometria.

x t = 2 2 cos ⁡ 2 t ⇒ x t 2 2 = cos ⁡ 2 t

y t = 3 2 sen ⁡ 2 t ⇒ y t 3 2 = s en ⁡ 2 t

Relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t = 1

x t 2 2 2 + y t 3 2 2 = 1

x 2 8 + y 2 18 = 1

Show! Então o traço de β está contido na elipse x 2 8 + y 2 18 = 1

E

f x , y = x 2 8 + y 2 18 - 1

C : f x , y = 0 ⇒ x 2 8 + y 2 18 - 1 = 0

Passo 4

b )

O vetor normal a curva C , que é curva de nível de f , é o gradiente de f .

∇ f = 2 x 8 , 2 y 18 = x 4 , y 9

No ponto 2,3 :

∇ f 2,3 = 2 4 , 3 9 = 1 2 , 1 3

Passo 5

Já que temos um vetor normal a curva C , podemos descobrir a equação cartesiana da reta tangente a C fazendo um produto escalar entre o vetor normal a C e um vetor que pertence a C , pois como esses dois vetores são perpendiculares, sabemos que esse produto escalar tem que dar zero.

Assim

∇ f 2,3 ∙ x - 2 , y - 3 = 0  

1 2 , 1 3 ∙ x - 2 , y - 3 = 0  

1 2 x - 2 + 1 3 y - 3 = 0

x 2 - 1 + y 3 - 1 = 0

y = 3 - x 2 + 2

y = - 3 x 2 + 6

Resposta

a )

f x , y = x 2 8 + y 2 18 - 1

C : f x , y = 0 ⇒ x 2 8 + y 2 18 - 1 = 0

b )

N = 1 2 , 1 3

y = - 3 x 2 + 6

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