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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 2

Considere a curva γ t = 11 cos ⁡ t , sin ⁡ ( t ) 2 + cos ⁡ ( t ) , t ∈ 0,2 π , e o triângulo delimitado pelas retas tangentes a γ nos pontos - 11,0 , 0 ,   1 / 2   e   ( 0 , - 1 / 2 ) . A área deste triângulo é:

Escolha uma opção:

a ) 11

b ) 33/4

c ) 99/2

d ) 11/2

e ) 99/4

Passo 1

Oiie, tudo bem contigo?

Primeira coisa vamos dar uma olhada nesta região dada? Temos o seguinte

A curva azul é γ e os 3 pontos representados são os dados no enunciado. É interessante lembrarmos também como obtemos uma reta tangente a curva, temos

y = y 0 + d y d x ( x - x 0 )

Em que ( x 0 , y 0 ) é um ponto que pertence a reta. No entanto, não temos y = f ( x ) para realizarmos a derivada, o que temos é y = f ( t ) e x = g ( t ) , como dadas no enunciado. Vamos retrabalhar isso para podermos obter nossa inclinação! Saca só!

Passo 2

Primeira coisa, vamos reescrever a nossa inclinação

d y d x = d y d t d x d t

Como temos que x t = 11 cos ⁡ ( t ) e y t = sin ⁡ t 2 + cos ⁡ ( t ) . Podemos dizer que

d y d x = d d t sin ⁡ t 2 + cos ⁡ ( t ) d d t 11 cos ⁡ t

Temos que d d t cos ⁡ ( t ) = - sin ⁡ ( t ) . Mas a outra é um pouco mais chatinha, vamos resolver ela!

Passo 3

Temos que usando a regra do quociente podemos escrever

d d t sin ⁡ t 2 + cos ⁡ ( t ) = cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t - sin ⁡ t ( - sin ⁡ ( t ) ) 2 + cos ⁡ t 2 = 2 cos ⁡ ( t ) + cos 2 ⁡ ( t ) + sin 2 ⁡ ( t ) 2 + cos ⁡ ( t ) 2

Ou, usando que cos 2 ⁡ ( t ) + sin 2 ⁡ ( t ) = 1 , temos

d d t sin ⁡ t 2 + cos ⁡ ( t ) = 2 cos ⁡ ( t ) + 1 2 + cos ⁡ ( t ) 2

De forma que

d y d x = d d t sin ⁡ t 2 + cos ⁡ ( t ) d d t 11 cos ⁡ t = 2 cos ⁡ ( t ) + 1 2 + cos ⁡ ( t ) 2 - 11 sin ⁡ ( t )

Vamos avaliar isso nos pontos para sabermos as nossas inclinações! Bora lá!

Passo 4

Temos que os pontos B e C estão exatamente sobre o eixo y , e portanto, x = 0 , de forma que temos t = π / 2 . Com essa informação, nossa inclinação no ponto B é

d y d x = 2 cos ⁡ ( t B = π / 2 ) + 1 2 + cos ⁡ ( t B = π / 2 ) 2 - 11 sin ⁡ ( t B = π / 2 ) = 1 / 4 - 11 = - 1 44

E, portanto, a reta que passa por B é

y - y 0 = d y d x x - x 0 → y - 1 2 = - 1 44 ( x - 0 )

Resumindo

r B : 44 y - 22 = - x → r B : x + 44 y = 22

Podemos fazer a mesma coisa para as outras duas retas!

Passo 5

Para o ponto C , devemos tomar um pouco de cuidado, pois temos na verdade t C = 3 π / 2 , de forma que sin ⁡ 3 π 2 = - 1 . E a nossa inclinação é

d y d x = 2 cos ⁡ ( t B = 3 π / 2 ) + 1 2 + cos ⁡ ( t B = 3 π / 2 ) 2 - 11 sin ⁡ ( t B = 3 π / 2 ) = 1 / 4 11 = 1 44

E, analogamente ao que fizemos no passo anterior, temos

y - y 0 = d y d x x - x 0 → y + 1 2 = 1 44 ( x - 0 )

E, a reta toma a seguinte forma

r C : x - 44 y = 22

Ainda falta um dos pontos! Vem comigo!

Passo 6

Por último, temos que o ponto A = ( - 11,0 ) , está só o eixo x , com y = 0 , e, portanto, está relaciona a t A = π . De forma que temos

d y d x = 2 cos ⁡ ( t A = π ) + 1 2 + cos ⁡ ( t A = π ) 2 - 11 sin ⁡ ( t A = π ) = n ã o   d e t e r m i n a d o

Note que neste ponto a derivada não está bem definida, mas, é possível identificar pela figura que esta é uma reta vertical constante de valor

r A : x = - 11

Temos então todas as nossas retas! Vamos ver esse triângulo!

Passo 7

O triângulo é tal que

Note que o tamanho da base pode ser obtido com a intersecção da reta tangente ao ponto A com as retas tangentes ao ponto B e C . E a altura pode ser obtida fazendo a intersecção entre as retas tangente ao ponto B e C (Ou se olhar o gráfico, fica bem claro que é x = 22 ). De qualquer forma, vamos fazer essas contas!

Passo 8

Primeiro, a intersecção das retas B e A , nos dá

r B : x + 44 y = 22       e     r A : x = - 11

Portanto, temos

- 11 + 44 y = 22 → y + = 33 44 = 3 / 4    

E da intersecção da reta C e A , por simetria, podemos dizer que obtemos

y - = - 3 / 4

O tamanho da base pode ser obtido como b = y + - y - = 3 4 - - 3 4 = 6 4 = 3 2 . Agora vamos verificar a altura deste triângulo.

Passo 9

Fazendo a intersecção de r B com r C temos

r B : x + 44 y = 22       e     r C : x - 44 y = 22          

Temos que de r B

y = 1 2 - x 44

Portanto, usando este resultado em r C , obtemos

x - 44 1 2 - x 44 = 22 → 2 x - 22 = 22 → x = 22        

Tendo então que a altura do triângulo é dada por h = 22 - - 11 = 33 . Note que o x = - 11 é o valor na reta vertical (base do triângulo). Sabendo a base e a altura, sabemos a área do triângulo calculando

A = b h 2 = 3 2 33 2 = 99 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A = 99 / 4

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