Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 5)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j ,                                     t = π / 4  

Passo 1

Oieeee gente!!

Vamos lá, nesse exercício, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos:

- Esboçar o gráfico dessa curva

- Encontrar a derivada da curva

- Esboçar o vetor da curva no valor dado de t , junto com o vetor tangente

Vamosss que vai ser tranquilíssimo, blz?

Passo 2

a) Temos a curva:

r t = s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j

Podemos escrever isso como equações paramétricas, assim:

x = s e n ( t ) y = 2 . c o s ⁡ ( t )

Sabendo que s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos

x 2 + y 2 2 2 = 1

Showww, isso aí é outra forma de vermos a curva r ( t ) , só que agora com x e y , sacou? E isso representa uma elipse de parâmetros a = 1 e b = 2 . Portanto, o gráfico da curva referente à r ( t ) é

Agora vamos pro item b

Passo 3

b) Agora queremos derivar a curva r ( t ) . A derivada do vetor r é dada pela derivada de cada componente individualmente:

r t = s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j

r t = s e n t , 2 cos ⁡ t

r ' t = cos ⁡ t , - 2 . s e n t

Fechou?

Passo 4

c) O vetor posição r ( t ) em t = π / 4 é

r π / 4 = s e n π 4   i + 2 cos ⁡ π 4   j

r π / 4 = 2 2   i + 2 ⁡   j

Por outro lado, o vetor tangente em t = π / 4 , tem origem no ponto ( 2 / 2 , 2 ) e é dado por

r ' π / 4 =   c o s π 4   i - 2 sen ⁡ π 4   j

r ' π / 4 =   2 2   i - 2 ⁡   j

Então, o esboço vai ficar assim:

E acabamooos galera!

Resposta

a)

b) r ' t = cos ⁡ t , - 2 . s e n t

c)

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