Integrais de linha – caso vetorial
O movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada
- Ache a equação paramétrica (ou vetorial) da reta tangente à curva no instante .
- Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a distância total percorrida pela partícula do instante até o instante .
Passo 1
Letra a)
Se a partícula tem movimento descrito por
Sua velocidade é dada por
E, no instante , temos o vetor posição:
E velocidade:
Sabendo que a reta tangente à trajetória nesse instante é dada por um vetor paralelo a ela vezes um parâmetro , mais um ponto que pertença à reta, podemos escrever:
Passo 2
Letra b)
Nós sabemos que a distância percorrida pela partícula é dada pelo comprimento do arco de entre os instantes e , dado por:
Onde
Levando para a integral
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + 2 c o s θ θ = π 3
Mostre que a equação da reta tangente à parábola y 2 = 4 p x no ponto x 0 , y 0 pode ser escrita como y 0 y = 2 p ( x + x 0 ) Onde essa reta tangente intercepta o eixo x ? Use esse fato para desenhar
Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - ln t y = t + ln t
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes14. r = 3 - 3 c o s θ
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r θ - ds e nθ , y = r - d cos θ em termos de θ .b) Mostre que, se dr , então a trocoide não tem uma tangente vertical.