Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

O movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π / 2 é descrito pela curva parametrizada r t = cos ⁡ 2 t ,   s e n   2 t , 2 π t .

  1. Ache a equação paramétrica (ou vetorial) da reta tangente à curva no instante t = π / 2 .
  2. Suponha que no instante t = π / 2 a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a distância total percorrida pela partícula do instante t = 0 até o instante t = π .

Passo 1

Letra a)

Se a partícula tem movimento descrito por

r t = cos ⁡ 2 t ,   s e n   2 t , 2 π t

Sua velocidade é dada por

r ' t = - 2   s e n   2 t ,   2 cos ⁡ 2 t , 2 π

E, no instante t = π / 2 , temos o vetor posição:

r π 2 = - 1 ,   0,1

E velocidade:

r ' π 2 = 0 , - 2 , 2 π

Sabendo que a reta tangente à trajetória nesse instante é dada por um vetor paralelo a ela vezes um parâmetro s , mais um ponto que pertença à reta, podemos escrever:

γ s = 0 , - 2 , 2 π s + - 1 ,   0,1

Passo 2

Letra b)

Nós sabemos que a distância percorrida pela partícula é dada pelo comprimento do arco de r ( t ) entre os instantes 0 e π / 2   , dado por:

D = ∫ 0 π / 2 r ' t d t

Onde

r ' t = - 2   s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 + 2 π 2 = 2 π 1 + π 2

Levando para a integral

D = 2 π 1 + π 2 ∫ 0 π / 2 d t

D = 2 π 1 + π 2   t 0 π / 2

D = 1 + π 2

Resposta

  1. γ s = 0 , - 2 , 2 π s + - 1 ,   0,1
  2. D = 1 + π 2

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