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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Exercício 49123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748505152535455565758

Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 4a

4. Verifique se a curva parametrizada r t é regular no ponto r t 0 . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto r t 0 . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto r t 0 e determine a sua equação. Faça um esboço:

(a) r t = cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t , t 0 = 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi pedido pra verificar se em t 0 a função vetorial r t = cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t é contínua e se sim, temos que obter a reta tangente e a reta normal à r t em t 0 = 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Para verificar se r t é contínua, podemos calcular o limite lim t → t 0 ⁡ r t .

Agora para obter a reta tangente de uma função vetorial temos que calcular a derivada da função e aplicar na fórmula

p t = r t 0 + r ' t 0 t

Já para obter a reta normal, temos que usar a segunda derivada de r , ou seja

q t = r t 0 + r ' ' t 0 t

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de r t para ver se r é regular em t 0

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t = 1,0

Como o limite não divergiu, então r t é regular...

Calculando a primeira derivada de r , temos

r ' t = d cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t d t = - 2 sin ⁡ 2 t , 2 cos ⁡ 2 t

Derivando o resultado novamente para obter a segunda derivada de r , temos

r ' ' t = d - 2 sin ⁡ 2 t , 2 cos ⁡ 2 t d t = - 4 cos ⁡ 2 t , - 4 sin ⁡ 2 t

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Primeiro vamos obter a reta tangente à r ...

Substituindo as informações que temos na fórmula da reta tangente de uma curva parametrizada, vamos obter

p t = r t 0 + r ' t 0 t

p t = cos ⁡ 2 0 , sin ⁡ 2 0 + - 2 sin ⁡ 2 0 , 2 cos ⁡ 2 0 · t

p t = cos ⁡ 0 , sin ⁡ 0 + - 2 sin ⁡ 0 , 2 cos ⁡ 0 · t

Simplificando...

p t = 1 , 0 + 0 , 2 · t

p t = 1 , 2 t

Agora obtendo a reta normal a r em t 0 , temos

q t = r t 0 + r ' ' t 0 t

q t = cos ⁡ 2 0 , sin ⁡ 2 0 + - 4 cos ⁡ 2 0 , - 4 sin ⁡ 2 0 t

q t = cos ⁡ 0 , sin ⁡ 0 + - 4 cos ⁡ 0 , - 4 sin ⁡ 0 t

Simplificando...

q t = 1 , 0 + - 4 , 0 t

q t = - 3,0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

p t = 1,2 t

q t = - 3,0

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