Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada por

r t = 1 t 2 , log ⁡ t   ,   t > 0

(logarítimo na base e ).

O ponto ( 0,0 ) pertence a reta tangente a curva C no ponto r ( t 0 ) . Assinale o valor de t 0 :

  1. e 2
  2. e - 2
  3. e - 1 2
  4. e - 1
  5. e

Passo 1

A reta tangente a curva C no ponto r ( t 0 ) é dada por

s t = r t 0 + r ' t 0 ⋅ t

Calculando r ' ( t 0 ) :

r t = 1 t 2 , log ⁡ t   ⇒ r ' t = - 2 t 3 , 1 t

Lembrando que nosso log ⁡ t na verdade é ln ⁡ t , porque a base é e .

A questão só não escreveu dessa forma pra ver se você ia estar ligado mesmo.

Enfim, aí, no ponto t 0 , vamos ter

r t 0 = 1 t 0 2 , ln ⁡ t 0   ⇒ r ' t 0 = - 2 t 0 3 , 1 t 0

Substituindo na equação da reta

s t = 1 t 0 2 , ln ⁡ t 0 + - 2 t 0 3 , 1 t 0 ⋅ t

s t 0 = 1 t 0 2 - 2 t t 0 3 , ln ⁡ t 0 + t t 0  

Passo 2

Agora, sabemos que o ponto ( 0,0 ) pertence a reta tangente a curva C . Isso significa que

s t 0 = 1 t 0 2 - 2 t t 0 3 , ln ⁡ t 0 + t t 0 = ( 0,0 )

Assim, igualando as componentes:

1 t 0 2 - 2 t t 0 3 = 0

ln ⁡ t 0 + t t 0 = 0

Da primeira equação, temos que

1 t 0 2 = 2 t t 0 3

2 t = t 0 3 t 0 2 = t 0

Substituindo isso na segunda equação

ln ⁡ t 0 + t 0 2 t 0 = 0

ln ⁡ t 0 + 1 2 = 0

ln ⁡ t 0 = - 1 2

e - 1 2 = t 0

Resposta

L e t r a   c

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