Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

PUCRIO - (Cálculo 2 - MAT1162) - G1 (Versão C) 2020.1

Sejam e e duas funções vetoriais. Considere a curva definida por

Encontre a função vetorial . Ou seja, calcule o produto vetorial acima.

Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva no ponto .

Calcule a curvatura de mesmo ponto .

Passo 1

Fala galera, tudo na paaaaz? Aqui a gente vai diretão pra questão. Afinal ela pede já na letra um produto vetorial, que pode ser definido como:

Pra achar esse produto vetorial, fazemos a determinante da seguinte matriz:

Calculando ela, temos:

Em outras notação, isso é o mesmo que:

Passo 2

Show galera, agora vamos falar de reta tangente. Pra isso, vamos considerar que, para um parâmetro qualquer, a reta tangente a quanto é dada, de forma geral, por:

Onde:

Ponto de tangência
Vetor diretor da reta

Bem, a questão diz qual é o ponto de tangência, mas não diz qual o valor do parâmetro que resulta nesse ponto. Bora achar então:

Pra achar é bem rapidinho se igualarmos a terceira coordenada ao seu valor:

Portanto, falta agora só achar . Pra isso, a gente primeiro deriva em relação a :

E depois aplica o valor do parâmetro no ponto de tangência ():

A reta tangente então será:

Passo 3

Quase acabando povo! A última letra pede pra calcular a curvatura! É bem aplicação de fórmula mesmo. A curvatura tem essa fórmula aqui:

Vai dar um trabalho braçal fazer essas contas, então vamos com calma. Pra início de conversa, já temos . Então calcular é mole, só derivar de novo em relação a :

Como a questão ta pedindo no mesmo ponto, da letra , então na verdade o que ela quer é:

Já que achamos o valor do parâmetro . Então beleza galera! Pra começar, o denominador será:

Já o numerador, vamos achar primeiro:

De forma que o produto vetorial será:

Calculando, achamos:

E calculando o módulo:

Ufaaa! Acabou! A curvatura será:

Resposta

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