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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere as duas superfícies dadas por 2 x + 2 y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 + z .

2. Parametrize a curva C obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 .

4. Existe algum ponto de C no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Passo 1

2.

Agora temos que parametrizar a interseção das duas superfícies, que foi chamada de C . Vamos seguir o passo a passo pra esse tipo de questão:

  • Isolar uma variável de uma das equações
  • Substituir na equação da outra superfície
  • Parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis
  • Substituir essas parametrizações na terceira variável que foi isolada

Passo 2

Na equação do paraboloide, z já está isolado, então vamos usá-lo!

Substituindo na equação do plano, temos:

z = x 2 + y 2 - 1     e     2 x + 2 y + z = 1

⇒ 2 x + 2 y + x 2 + y 2 - 1 = 1

x 2 + 2 x + y 2 + 2 y = 2

Completando quadrados:

x + 1 2 + y + 1 2 - 2 = 2

⇒ x + 1 2 + y + 1 2 = 4 = 2 2

E a equação de um círculo de centro a , b e raio r é:

x - a 2 + y - b 2 = r ²

Então a projeção de C no plano x y é o círculo de centro - 1 , - 1 e raio 2 , tranquilo?

Passo 3

Agora temos que parametrizar essa projeção. Como é um círculo, vamos usar algo do tipo x = A cos ⁡ t + B e y = C sen ⁡ t + D pra gente usar e abusar da relação: cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1 .

Então vamos fazer isso:

x = A cos ⁡ t + B     e     y = C sen ⁡ t + D

⇒   x + 1 2 + y + 1 2 = A cos ⁡ t + B + 1 2 + C sen ⁡ t + D + 1 2 = 4

Pra eliminarmos esse B + 1 e D + 1 , podemos escolher B = D = - 1 . Então vamos ter:

A cos ⁡ t 2 + C sen ⁡ t 2 = 4

Para ter algo multiplicando cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t podemos fazer A = C . Assim:

A cos ⁡ t 2 + A sen ⁡ t 2 = 4

A 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 4

A 2 = 4

A = ± 2

Então, uma parametrização possível pra esse círculo é:

x ( t ) = 2 cos ⁡ t - 1     e     y ( t ) = 2 sen ⁡ t - 1

Passo 4

Show! Agora só falta substituir essa parametrização na variável z :

z = x 2 + y 2 - 1

z = 2 cos ⁡ t - 1 2 + 2 sen ⁡ t - 1 2 - 1

z = 4 cos 2 ⁡ t - 4 cos ⁡ t + 1 + 4 sen 2 ⁡ t - 4 sen ⁡ t + 1 - 1

z = 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t - cos ⁡ t - sen ⁡ t + 1

z = 1 + 4 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t

⇒ z = 5 - 4 ( cos ⁡ t + sen ⁡ t )

Logo, uma parametrização de C é:

γ t = 2 cos ⁡ t - 1 ,   2 sen ⁡ t - 1 ,   5 - 4 cos ⁡ t + sen ⁡ t   ,     t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 5

3.

Agora queremos a reta tangente a C no ponto p = 1 , - 1,1 . Beleza, precisamos descobrir em que t 0 temos γ t = ( 1 , - 1,1 ) :

γ t 0 = 2 cos ⁡ t 0 - 1 ,   2 sen ⁡ t 0 - 1 ,   5 - 4 cos ⁡ t 0 + sen ⁡ t 0

O que nos dá um sistema:

2 cos ⁡ t 0 - 1 = 1   2 sen ⁡ t 0 - 1 = - 1 5 - 4 cos ⁡ t 0 + sen ⁡ t 0 = 1

Pela primeira equação:

2 cos ⁡ t 0 = 2

cos ⁡ t 0 = 1

Como t 0 ∈ 0,2 π :

t 0 = 0

Se quiser, você pode verificar que as outras equações são respeitadas :)

Passo 6

Pra achar a reta tangente em p , vamos precisar de γ ' ( t 0 ) . Então vamos começar calculando γ ' ( t ) :

γ t = 2 cos ⁡ t - 1 ,   2 sen ⁡ t - 1 ,   5 - 4 cos ⁡ t + sen ⁡ t

γ ' t = 2 . - sen ⁡ t - 0,2 cos ⁡ t - 0 ,   0 - 4 - sen ⁡ t + cos ⁡ t

⇒ γ ' t = - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t ,   - 4 - sen ⁡ t + cos ⁡ t

Então em t 0 temos:

γ ' t 0 = 0 ,   2 , -   4 0 + 1 = ( 0 ,   2 , -   4 )

Logo, uma parametrização da reta tangente a C em p é:

r t = 1 , - 1 ,   1 + t 0,2 , - 4 ⇔ ( 1 ,   2 t - 1 ,   - 4 t + 1 )

Passo 7

4.

Enfim, pra finalizar essa pergunta gigante, ele nos pergunta se existe um ponto de C onde a reta tangente passa na origem.

Na verdade, vai ser até simples de responder.

Vejamos, por definição a curva C está contida no plano 2 x + 2 y + z = 1 . Então qualquer reta tangente a um ponto de C deve estar contida no plano! Ele é 2D, a reta tangente não pode simplesmente sair por aí!

E como a origem não está no plano, nenhuma reta tangente de C pode passar nela!

Então é isso, fechamos a questão! :D

Resposta

2.

γ t = 2 cos ⁡ t - 1 ,   2 sen ⁡ t - 1 ,   5 - 4 cos ⁡ t + sen ⁡ t   ,     t ∈ [ 0,2 π ]

3.

r t = 1 , - 1 ,   1 + t 0,2 , - 4

4.

Não.

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