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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 4b

4. Verifique se a curva parametrizada r t é regular no ponto r t 0 . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto r t 0 . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto r t 0 e determine a sua equação. Faça um esboço:

(b) r t = 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t , t 0 = π

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi pedido pra verificar se em t 0 a função vetorial r t = 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t é contínua e se sim, temos que obter a reta tangente e a reta normal à r t em t 0 = π .

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Para verificar se r t é contínua, podemos calcular o limite lim t → t 0 ⁡ r t .

Agora para obter a reta tangente de uma função vetorial temos que calcular a derivada da função e aplicar na fórmula

p t = r t 0 + r ' t 0 t

Já para obter a reta normal, temos que usar a segunda derivada de r , ou seja

q t = r t 0 + r ' ' t 0 t

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de r t para ver se r é regular em t 0

lim t → π ⁡ 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t = 1 - sin ⁡ π , 1 - cos ⁡ π

lim t → π ⁡ 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t = 1 - 0 , 1 - - 1

lim t → π ⁡ 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t = 1 , 2

Como o limite não divergiu, então r t é regular...

Calculando a primeira derivada de r , temos

r ' t = d 1 - sin ⁡ t , 1 - cos ⁡ t d t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t

Derivando o resultado novamente para obter a segunda derivada de r , temos

r ' ' t = d - cos ⁡ t , sin ⁡ t d t = sin ⁡ t , cos ⁡ t

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Primeiro vamos obter a reta tangente à r ...

Substituindo as informações que temos na fórmula da reta tangente de uma curva parametrizada, vamos obter

p t = r t 0 + r ' t 0 t

p t = 1 - sin ⁡ π , 1 - cos ⁡ π + - cos ⁡ π , sin ⁡ π · t

Simplificando...

p t = 1 - 0 , 1 - - 1 + - - 1 , 0 · t

p t = 1 , 2 + t , 0

p t = 2 , 2

Agora obtendo a reta normal a r em t 0 , temos

q t = r t 0 + r ' ' t 0 t

q t = 1 - sin ⁡ π , 1 - cos ⁡ π + sin ⁡ π , cos ⁡ π t

Simplificando...

q t = 1 - 0,1 - - 1 + 0 , - 1 t

q t = 1 , 2 + 0 , - t

q t = 1 , 2 - t

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

p t = 2,2

q t = 1,2 - t

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