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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Curvas Parametrizadas, Função Vetorial e Matriz Jacobiana

O movimento de uma partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π 2 é descrito pela curva parametrizada r t = cos ⁡ 2 t , sin ⁡ 2 t , 2 t π .

a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante t = π 2 .

b) Suponha que no instante t = π 2 a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante t = π .

Passo 1

a) Aqui temos que encontrar a equação paramétrica da reta tangente. Para isso, precisamos saber antes de mais nada qual é o ponto para o parâmetro t = π 2 ! Substituindo esse valor na equação da trajetória, teremos:

r π 2 = cos ⁡ 2 . π 2 , sin ⁡ 2 . π 2 , 2 . π 2 π = - 1,0 , 1

Beleza, então queremos a reta tangente no ponto - 1,0 , 1 !

Passo 2

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta tangente, que é o vetor derivada da função da curva.

r ' t = - 2 sin ⁡ 2 t , 2 cos ⁡ 2 t , 2 π

Para t = π 2 , o vetor é:

r ' π 2 = - 2 sin ⁡ 2 . π 2 , 2 cos ⁡ 2 . π 2 , 2 π = 0 , - 2 , 2 π

E o vetor diretor da nossa reta é   0 , - 2 , 2 π

Passo 3

Agora que temos o ponto e o vetor diretor, basta colocar na equação da reta!

α s = P 0 + s . v →

α s = - 1,0 , 1 + s . 0 , - 2 , 2 π

E pronto, aí está :D

Passo 4

b) Para saber a posição da partícula que agora anda seguindo a equação da reta, basta colocar o parâmetro s que corresponde a t = π ! Como a equação de α começa em α 0 , que é quando r t está em r π 2 , então existe um “atraso” de π 2 entre os parâmetros, percebe? Assim, quando estamos em r π , estamos em α π - π 2 = α π 2 , pegou a ideia?

Colocando s = π 2 , teremos:

α π 2 = - 1,0 , 1 + π 2 . 0 , - 2 , 2 π

α π 2 = - 1,0 , 1 + 0 , - π , 1

α π 2 = - 1 , - π , 2

Resposta

a) A equação da reta é α s = - 1,0 , 1 + s . 0 , - 2 , 2 π

b) O ponto é - 1 , - π , 2

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