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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 1ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 3a

Determine a equação na forma z = a x + b y + c , do plano tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 no ponto ( 3,4 , f 3,4 ) .

Passo 1

Faaaaaaaala galerinha, tudo na boa por aí?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 2 + y 2

E, precisamos determinar o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 3,4 ,   f 3,4 ) .

Pra calcular a equação do plano tangente em um ponto de uma superfície precisamos fazer:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ n → = 0

onde o vetor normal é dado por:

n → = ∇ F ( P 0 )

ou seja, o gradiente de F , (onde P 0 é o ponto de interesse).

Tá, mas e quem é F ??? Já vou explicar com calma, se liga só:

Recebemos uma equação para f ( x , y ) , certo? Então, no lugar de f ( x , y ) vamos chamar de z . Depois jogamos todas as variáveis para o lado que z está na igualdade, e toda essa expressão é o que chamamos de F ( x , y , z ) .

Sacou? Quando fizermos na prática vai ficar mais claro!

Vamo nessa!

Passo 2

Recebemos:

f x , y = x 2 + y 2

Chamando z = f ( x , y ) , vem:

z = x 2 + y 2

Jogando tudo para o lado de z na igualdade:

0 = z - x 2 + y 2

Agora vamos chamar toda essa expressão de F ( x , y , z ) . Então:

F x , y , z = z - x 2 + y 2

Excelente! Vamos calcular agora ∇ F .

Mas o que é o gradiente de F mesmo?

∇ F = ( F x , F y , F z )

Ou seja, as derivadas parciais de F .

∂ F ∂ x =   - 1 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 x

∂ F ∂ y = - 1 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 y  

E, por fim:

∂ F ∂ z = 1

Logo:

∇ F = - 1 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 x ,   - 1 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 y   ,   1

Mas, queremos saber o gradiente de F no ponto ( 3,4 , f 3,4 ) . Como:

f 3,4 = 3 2 + 4 2 = 5

Temos:

∇ F 3,4 , 5 = - 3 5 , - 4 5 ,   1

Muito bom!!

Passo 3

Agora podemos substituir na expressão principal para a equação do plano:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ n → = 0

= x - 3 ,   y - 4 ,   z - 5 ⋅ - 3 5 , - 4 5 ,   1 = 0

Logo:

- 3 x 5 + 9 5 - 4 y 5 + 16 5 + z - 5 = 0

∴ - 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

Excelente! Essa é a equação do plano tangente 😊

Brigado pela atenção pessoal!! Até a próxima 😊

Resposta

- 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

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