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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 12a.

12. (1EE-2019.2) Considere a função f x = x x - 1

(a) Obtenha a equação da reta r tangente ao gráfico de f x no ponto de abscissa x = 3 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos calcular a reta tangente a f x no ponto do gráfico onde a abcissa é x = 3 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para obter a reta tangente a uma curva, precisamos de duas coisas...

Primeiro: o coeficiente angular da reta.

Segundo: um ponto que pertence à reta.

O coeficiente angular é obtido através de f ' x aplicado ao ponto x = 3 .

E calculando a imagem de f 3 , podemos obter um ponto P que pertence à reta.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Pela regra do quociente, a derivada de uma fração de funções é

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Aplicando ao nosso caso, temos

f ' x = d x d x x - 1 - x d x - 1 d x x - 1 2

Pelo método de derivação polinomial, as derivadas de x e x - 1 são

d x d x = 1

d x - 1 d x = 1

Substituindo em f ' x

f ' x = x - 1 - x x - 1 2

f ' x = - 1 x - 1 2

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos encontrar a imagem de f 3 para obter o ponto P

f 3 = 3 3 - 1 = 3 2

Portanto o ponto P é

P = 3 , 3 2

Uma reta é dada por y = A x + B

Onde A é o coeficiente angular e B uma constante.

Como vimos anteriormente, o coeficiente angular é dado pela derivada de f aplicada a um ponto da curva, no caso x = 3 .

f ' 3 = - 1 3 - 1 2 = - 1 4

E substituindo x = 3 e y = 3 / 2 , vamos encontrar B .

y = f ' 3 x + B

y = - 1 4 x + B

3 2 = - 1 4 3 + B

B = 3 2 + 3 4 = 9 4

Portanto, a equação da reta á dada por

y = - 1 4 x + 9 4

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y = - 1 4 x + 9 4

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