Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Seja Γ   : 0,2 π → R 2 a curva dada por Γ t = x t , sen ⁡ t ,   1 + cos ⁡ t . Sabendo que a imagem de Γ está contida na superfície de equação z - 1 2 - y 2 4 = x , determine x t e encontre uma equação para a reta tangente a Γ em Γ π 3

Passo 1

Bom, antes de mais nada, temos que finalizar a parametrização da nossa curva! Podemos encontrar x t pela equação da superfície, colocando z t = 1 + cos ⁡ t e y t = sen ⁡ t , que são dados por Γ t .

Assim, temos:

x t = z t - 1 2 - y 2 t 4

x t = 1 + cos ⁡ t - 1 2 - sen 2 ⁡ t 4

x t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t 4

Passo 2

Para encontrar a reta tangente a uma curva parametrizada, devemos verificar qual é o ponto para o parâmetro em questão, pois ele será necessário depois.

Fazendo

Γ π 3 = cos 2 ⁡ π 3 - sen 2 ⁡ π 3 4 , sen ⁡ π 3 ,   1 + cos ⁡ π 3

temos como resultado:

Γ π 3 = cos 2 ⁡ π 3 - sen 2 ⁡ π 3 4 , sen ⁡ π 3 ,   1 + cos ⁡ π 3

Γ π 3 = 1 4 - 3 16 , 3 2 , 3 2 = 1 16 , 3 2 , 3 2

Passo 3

Perfeito! Agora só falta derivar a curva Γ no ponto é jogar na fórmula ;)

Γ t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t 4 , sen ⁡ t ,   1 + cos ⁡ t

Γ ' t = 2 cos ⁡ t . - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t . cos ⁡ t 4 , cos ⁡ t , - sen ⁡ t

Agora jogando o ponto π 3 , temos:

Γ ' π 3 = 2 cos ⁡ π 3 . - sen ⁡ π 3 - 2 sen ⁡ π 3 . cos ⁡ π 3 4 , cos ⁡ π 3 , - sen ⁡ π 3

Γ ' π 3 = 2 . 1 2   . - 3 2 - 2   . 3 2 . 1 2 4 , 1 2 , - 3 2

Γ ' π 3 = - 5 3 8 , 1 2 , - 3 2

Passo 4

Agora estamos com a faca e o queijo na mão! Pegamos a derivada da curva em t = π 3 , que é paralela ao vetor tangente da reta nesse ponto, estivamos ela, multiplicando por um parâmetro k , e transladamos para o ponto 1 16 , 3 2 , 3 2 , que é o ponto de tangência!

Então...

- 5 3 8 , 1 2 , - 3 2 . k

Esse é o vetor esticado. Agora, para jogá-lo para o ponto de tangência, só somar o ponto :D

r k = 1 16 , 3 2 , 3 2 + - 5 3 8 , 1 2 , - 3 2 . k

Resposta

r k = 1 16 , 3 2 , 3 2 + - 5 3 8 , 1 2 , - 3 2 . k

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