Curvas Parametrizadas, Reta Tangente e Plano Normal
Seja a curva dada por . Sabendo que a imagem de está contida na superfície de equação , determine e encontre uma equação para a reta tangente a em
Passo 1
Bom, antes de mais nada, temos que finalizar a parametrização da nossa curva! Podemos encontrar pela equação da superfície, colocando e , que são dados por .
Assim, temos:
Passo 2
Para encontrar a reta tangente a uma curva parametrizada, devemos verificar qual é o ponto para o parâmetro em questão, pois ele será necessário depois.
Fazendo
temos como resultado:
Passo 3
Perfeito! Agora só falta derivar a curva no ponto é jogar na fórmula ;)
Agora jogando o ponto , temos:
Passo 4
Agora estamos com a faca e o queijo na mão! Pegamos a derivada da curva em , que é paralela ao vetor tangente da reta nesse ponto, estivamos ela, multiplicando por um parâmetro , e transladamos para o ponto , que é o ponto de tangência!
Então...
Esse é o vetor esticado. Agora, para jogá-lo para o ponto de tangência, só somar o ponto :D