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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 5

5. Considere a curva parametrizada r t = t 2 , 2 t 2 + 1 , t 3 , t ∈ R . Verifique se tal curva admite reta tangente paralela ao vetor v = 1,2 , 3 . Se sim, em qual(quais) ponto(s) da curva isso ocorre?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Foi dada uma função parametrizada como r t = t 2 , 2 t 2 + 1 , t 3 e nosso objetivo é verificar quais retas tangentes a r são paralelas ao vetor v = 1,2 , 3 e em quais pontos...

Parece tranquilo? 🤔

Para obter a reta tangente de uma função vetorial temos que calcular a derivada da função e aplicar na fórmula

p t = r t 0 + r ' t 0 t

Para v e p t serem paralelos, o coeficiente angular de p t deve ser igual ao mutiplo de v , ou seja

r ' t 0 = k v

Onde k é uma constante...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de r ...

r ' t = d t 2 , 2 t 2 + 1 , t 3 d t = 2 t , 4 t , 3 t 2

Igualando r ' t a k v , temos

2 t , 4 t , 3 t 2 = k 1,2 , 3

A partir dessa equação podemos montar o seguinte sistema

k = 2 t 2 k = 4 t 3 k = 3 t 2 → k = 2 t k = t 2

Igualando ambos os k ' s , temos

2 t = t 2

t = 2

Dessa forma vemos que em t 0 = 2 a reta tangente de r t é paralela ao vetor v = 1,2 , 3 ...

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

t 0 = 2

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