Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a superfície S dada por

x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 = 3

  1. Enconte uma equação do plano tangente a S no ponto ( 2 , - 1,1 ) .
  2. Encontre uma equação da reta normal à superfície S no ponto ( 2 , - 1,1 ) .

Passo 1

Primeiro vamos jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e definir nossa função F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 - 3

O gradiente de F é:

∇ F x , y , z = 2 x , 4 y , - 6 z

Substituindo no ponto ( 2 , - 1,1 ) , temos:

∇ F 2 , - 1,1 = 2 . 2 , 4 . ( - 1 ) , - 6 . 1

∇ F 2 , - 1,1 = 4 , - 4 , - 6

Esse vetor é perpendicular a superfície S , logo, ele é normal ao plano tangente a S , ao mesmo tempo que está na mesma direção da reta normal a S .

Passo 2

a )

A equação do plano tangente a S fica:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ∙ ∇ F P 0 = 0  

x - 2 , y + 1 , z - 1 ∙ 4 , - 4 , - 6 = 0  

4 x - 2 - 4 y + 1 - 6 z - 1 = 0

4 x - 4 y - 6 z = 8 + 4 - 6 = 6

2 x - 2 y - 3 z = 3

Passo 3

b )

Já a equação da reta normla a S fica:

r t = P 0 + ∇ F P 0 . t

r t = ( 2 , - 1,1 ) + 4 , - 4 , - 6 . t

r t = 2 + 4 t , - 1 - 4 t , 1 - 6 t

t ∈ R

Resposta

a )

2 x - 2 y - 3 z = 3

b )

r t = 2 + 4 t , - 1 - 4 t , 1 - 6 t

t ∈ R

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