Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva parametrizada espacial

α t = sen ⁡ 2 t , 3 cos 2 ⁡ t , 4 sen ⁡ t   ,   t ∈ R

Calcule α ( 0 ) e a equação paramétrica da reta tangente ao traço de α em α ( 0 ) .

Passo 1

Easy easy. Para calcular α ( 0 ) basta substituirmos t = 0 na equação da curva. Assim

α 0 = sen ⁡ 2 . 0 , 3 cos 2 ⁡ 0 , 4 sen ⁡ 0 = 0,3 , 0

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente a α em α 0 = 0,3 , 0 .

Para isso, temos que calcular a derivada de α :

α ' t = 2 cos ⁡ 2 t ,   3.2 cos 1 ⁡ t . - sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

α ' t = 2 cos ⁡ 2 t ,   - 6 cos ⁡ t . sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

Substituindo em t 0 = 0 , temos

α ' 0 = 2 cos ⁡ 2 . 0 ,   - 6 cos ⁡ 0 . sen ⁡ 0 , 4 cos ⁡ 0

α ' t = 2 . 1 ,   - 6 . 1 . 0 , 4 . 1 = 2,0 , 4 = 2 1,0 , 2

Passo 3

Assim, a equação paramétrica da reta tangente a α em α ( 0 ) é

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

r t = α 0 + α ' 0 . t

r t = 0,3 , 0 + 1,0 , 2 . t

r t = t ,   3 ,   2 t   ,     t ∈ R

Resposta

r t = t ,   3 ,   2 t   ,     t ∈ R

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