UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 6.
6. Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, estamos interessados em calcular a equação da reta tangente e da reta normal à equação em .
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Para calcular uma reta, precisamos apenas de um ponto pertencente a essa reta e do seu coeficiente angular.
Como sabemos, a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto, ou seja, o coeficiente angular do plano tangente.
Porém não podemos derivar a equação explicitamente pois não conseguimos isolar o .
Então vamos aplicar o método de derivada implícita.
Lembra como é? 😎
Passo 2
De maneira geral, a equação da reta tangente é dada por
Já da reta normal, terá um coeficiente angular inverso e oposto
Derivando a equação implicitamente, temos
Pelo método de derivação polinomial, temos
Aplicando o ponto ...
Substituindo na equação da reta tangente...
é uma constante que é obtida aplicando o ponto na equação da reta
Portanto, a reta tangente a curva no ponto é
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos obter a reta normal a curva, e como vimos antes, o coeficiente angular é dado pelo oposto e inverso do coeficiente angular da reta tangente.
Aplicando o ponto nessa equação, temos
Substituindo em
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
