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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Interseção de Superfícies, Curvas Parametrizadas, Superfícies

Sejam S 1 e S 2 as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 z = y - 1 2 - x 2

S 2 = x , y , z ∈ R 3 z = x 2 + 2 y 2 - 2

a) Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção de S 1 e S 2 .

b) Determine a equação da reta tangente à curva do passo anterior, no ponto 6 2 ,   0 ,   - 1 2 .

Passo 1

a) Essa é tranquila, já temos z isolado nas duas equações! A curva de interseção está tando em uma superfície como na outra, então, se

z = y - 1 2 - x 2

e

z = x 2 + 2 y 2 - 2

Então,

y - 1 2 - x 2 = x 2 + 2 y 2 - 2

Show até aí?

Passo 2

Vamos desenvolver agora essa equação:

y - 1 2 - x 2 = x 2 + 2 y 2 - 2

Fazendo esse y - 1 2 , temos

y 2 - 2 y + 1 - x 2 = x 2 + 2 y 2 - 2

Passando tudo para o lado esquerdo,

y 2 - 2 y + 1 - x 2 - x 2 - 2 y 2 + 2 = 0

- 2 x 2 - y 2 - 2 y + 3 = 0

Multiplicando tudo por - 1 , temos:

2 x 2 + y 2 + 2 y - 3 = 0

Se fizermos que - 3 é - 4 + 1 , podemos completar o quadrado para o y , tendo:

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 4 = 0

E fica:

2 x 2 + y + 1 2 - 4 = 0

Passando o 4 pro lado direito, temos:

2 x 2 + y + 1 2 = 4

Dividindo tudo por 4 , temos:

x 2 2 + y + 1 2 4 = 1

Que é a equação de uma elipse!

Sei que isso pareceu muito carteado, mas a ideia é a seguinte: separe tudo o que puder, a primeira vista, e, depois tente agrupar em pares de quadrados, exatamente como fizemos :D

Passo 3

Vamos, agora, parametrizar a essa elipse, usando coordenadas polares, como sempre:

x = x 0 + a cos ⁡ θ y = y 0 + b sin ⁡ θ

Como temos a = 2 , b = 4 , y 0 = - 1 (lembre, na equação temos y - y 0 ) e x 0 = 0 , a parametrização fica:

γ t = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ - 1 ,   θ ∈ 0,2 π

Mas essa curva não é interseção de duas superfícies? Precisamos da componente z ! Para descobrir qual é a terceira componente da curva, só jogamos essa parametrização de x e y na equação de uma das superfícies (pois a curva e interseção pertence a ambas!).

Jogando na segunda, que é mais amigável, temos:

z = x 2 + 2 y 2 - 2

z θ = 2 cos ⁡ θ 2 + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2

z θ = 2 cos 2 ⁡ θ + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2

E a curva, por fim, no R 3 , fica:

γ t = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ - 1,2 cos 2 ⁡ θ + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2 ,   θ ∈ 0,2 π

Passo 4

Para descobrir a equação da reta tangente no ponto 6 2 ,   0 ,   - 1 2 , tudo o que precisamos fazer é:

  • Ver o valor do parâmetro θ para esse ponto
  • Derivar a curva
  • Jogar o valor do parâmetro na derivada
  • Colocar na equação da reta

E pronto!

Vamos começar igualando o ponto à curva, para ver o valor que o parâmetro deve assumir:

6 2 ,   0 ,   - 1 2 = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ - 1,2 cos 2 ⁡ θ + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2

Pela primeira coordenada, temos:

6 2 = 2 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 3 2

θ = π 6

Show! Sabemos agora o ângulo que vamos usar como parâmetro na derivada :D

Passo 5

Derivando a curva, temos:

γ t = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ - 1,2 cos 2 ⁡ θ + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2 ,   θ ∈ 0,2 π

γ ' t = - 2 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ , - 4 cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + 4 2 sin ⁡ θ - 1 . 2 cos ⁡ θ ,   θ ∈ 0,2 π

Substituindo o parâmetro, teremos:

γ ' π 6 = - 2 sin ⁡ π 6 ,   2 cos ⁡ π 6 , - 4 cos ⁡ π 6 . sin ⁡ π 6 + 4 2 sin ⁡ π 6 - 1 . 2 cos ⁡ π 6

Que, colocando os valores dos senos e cossenos, fica:

γ ' π 6 = - 2 . 1 2 ,   2 3 2 , - 4 . 3 2 . 1 2 + 4 2.1 2 - 1 . 2 3 2

γ ' π 6 = - 2 2 ,   3 , - 3

Passo 6

Colocando, agora, essa derivada (que é o vetor diretor) na equação da reta tangente, teremos:

r t = - 2 2 ,   3 , - 3 . t + 6 2 ,   0 ,   - 1 2 ,   t ∈ R

Resposta

a) γ t = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ - 1,2 cos 2 ⁡ θ + 2 2 sin ⁡ θ - 1 2 - 2 ,   θ ∈ 0,2 π

b) r t = - 2 2 ,   3 , - 3 . t + 6 2 ,   0 ,   - 1 2 ,   t ∈ R

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