Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 2, Exercício 34
(Cap. 13.2 - Ex. 34) Em que ponto as curvas e se cruzam? Determine o ângulo de intersecção destas, com precisão de um grau.
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Partiu resolver mais uma questãozinha?
O objetivo desse exercício aqui, é encontrar o ponto em que as curvas que foram dadas no enunciado se cruzam, e qual o ângulo entre elas, quando esse cruzamento acontece.
Aqui, ele diz ainda que esse grau deve ter precisão de um grau. Isso quer dizer que não é necessário colocar a resposta em número decimal.
Primeiramente, devemos encontrar o ponto de intersecção das curvas dadas, ou seja, onde as curvas se cruzam. Pra isso, vamos igualar as duas equações vetoriais que foram dadas no enunciado:
Da igualdade acima, vamos obter 3 equações:
Tá, mas o que eu faço com isso agora?
Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de e das equações acima, que satisfazem as equações simultaneamente, ou seja, ao mesmo tempo.
As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.
Da primeira equação temos . Substituindo na terceira equação teremos:
Pronto. Já encontramos o valor de . Agora vamos para o valor de
Vamos substituir o valor de encontrado na primeira equação:
Agora que temos e , vamos substituir em para encontrar o ponto de intersecção:
Se fizermos a mesma coisa para :
Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por
Passo 2
Agora, para descobrirmos o ângulo de intersecção das curvas, vamos primeiramente fazer a derivada termo a termo.
As derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas, são dadas por:
No ponto de intersecção, vamos substituir os valores de e encontrados no passo anterior na equação acima:
Esses valores de e são os vetores tangentes.
Passo 3
Agora que temos os vetores tangentes, vamos calcular o produto escalar entre eles. Para isso, basta fazermos a multiplicação entre eles, e fazer a soma:
Passo 4
Tá, mas onde entra o ângulo nisso tudo que fizemos até agora?
Da literatura, nós sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:
Sendo o ângulo entre os vetores.
Isolando o termo temos
Passo 5
Para encontrarmos o ângulo, vamos primeiro encontrar o cosseno desse ângulo, e aplicar então a função do arcotangente, que nos dará o valor de .
Então, substituindo os valores na equação do cosseno do passo anterior, temos que:
O ângulo é dado então por
Prontinho, pessoal! Pra esse exercício, é isso!! Bora pra mais uma?
Resposta
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