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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Qual o ponto da curva C , parametrizada por

r t = 4 t cos ⁡ t , t sen ⁡ t , t ,   t ∈ 0,2 π

No qual a reta tangente a C contém o ponto π 2 , 0,0 ?

  1. - 4 π , 0 , π
  2. 8 π , 0 , 2 π
  3. 0 , - 3 π 2 , 3 π 2
  4. 0 , π 2 , π 2
  5. 2 π 2 , 2 π 8 , π 4

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor tangente à curva:

r ' t = 4 cos ⁡ t - 4 t sen ⁡ t , sen ⁡ t + t cos ⁡ t , 1

Passo 2

A equação da reta tangente, passando pelo ponto de tangencia

P = r t 0 = 4 t 0 cos ⁡ t 0   , t 0 sen ⁡ t 0 , t 0

será:

r t g ( s ) = r t 0 + s ∙ r ' t 0

r t g ( s ) = 4 t 0 cos ⁡ t 0   , t 0 sen ⁡ t 0 , t 0 + 4 cos ⁡ t 0 - 4 t 0 sen ⁡ t 0 , sen ⁡ t 0 + t 0 cos ⁡ t 0 , 1 s

r t g ( t ) = 4 t 0 cos ⁡ t 0   + 4 cos ⁡ t 0 . s - 4 t 0 sen ⁡ t 0 . s ,   t 0 sen ⁡ t 0 + sen ⁡ t 0 . s + t 0 cos ⁡ t 0 . s ,   t 0 + 1 . s   ,     s ∈ R

Passo 3

Porém, o problema diz que a reta tangente tem de passar pelo ponto π 2 , 0,0 . Vamos ter:

4 t 0 cos ⁡ t 0   + 4 cos ⁡ t 0 . s - 4 t 0 sen ⁡ t 0 . s ,   t 0 sen ⁡ t 0 + sen ⁡ t 0 . s + t 0 cos ⁡ t 0 . s ,   t 0 + 1 . s   = π 2 , 0,0

Temos o sistema:

4 t 0 cos ⁡ t 0   + 4 cos ⁡ t 0 . s - 4 t 0 sen ⁡ t 0 . s = π ²

t 0 sen ⁡ t 0 + sen ⁡ t 0 . s + t 0 cos ⁡ t 0 . s = 0

t 0 + 1 . s = 0

Da ultima equação:

s = - t 0

Substituindo na primeira equação:

4 t 0 cos ⁡ t 0   - 4 t 0 cos ⁡ t 0 + 4 t 0 2 sen ⁡ t 0 = π ²

4 t 0 2 sen ⁡ t 0 = π ²

t 0 2 sen ⁡ t 0 = π 2 4

Assim

t 0 = + π 2

Porque só nesse caso temos que sen ⁡ t 0 = 1 para que t 0 2 sen ⁡ t 0 possa ser igual a π 2 4 .

Passo 4

Então, o ponto P será:

P = r t 0 = 4 t 0 cos ⁡ t 0   , t 0 sen ⁡ t 0 , t 0

P = r π 2 = 4 π 2 cos ⁡ π 2   , π 2 sen ⁡ π 2 , π 2

P = r π 2 = 0 , π 2 , π 2

Resposta

L e t r a   d

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