Encontre a equação paramétrica da reta normal à curva
no ponto .
Passo 1
Para encontrar a equação da reta normal, precisamos primeiro do vetor tangente, porque é o mais proximo que conseguimos com as informações que o enunciado nos deu.
Comecemos por encontrar qual é o valor do parâmetro para o ponto dado. Para, isso, basta igualar o ponto a equação da reta
Passo 2
Agora, vamos derivar a equação para descobrir o vetor tangente
Para derivar uma equação paramétrica, basta derivar cada um de seus componentes!
Passo 3
Agora colocamos o valor do parâmetro, calculado no passo 1, na equação da derivada e achar quais são as componentes do nosso vetor tangente
Passo 4
Agora que temos o vetor tangente, podemos encontrar facilmente o vetor normal. Para isso basta saber que qualquer vetor pode ser obtido pela diferença entre dois pontos!
Sabemos que o vetor normal passa pelo ponto , logo, podemos subtrair este ponto de um outro genérico , que ainda vamos descobrir. Então, nosso vetor normal fica
Viu como é simples??
Passo 5
Como o vetor tangente é perpendicular ao vetor normal, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é 0, agora podemos matar a questão!!
Encontramos uma reta na qual o nosso vetor está contido!! Agora é só escolher um ponto dela e fazer a subtração do ponto para encontrar o vetor!!
Passo 6
É muito conveniente escolher um ponto onde uma das coordenadas seja 0, apenas pra fazer menos conta mesmo. Veja, quando temos ....
Ou seja, o ponto está sobre a reta e pode ser um dos extremos do nosso vetor.
Passo 7
Fazendo agora o vetor, basta subtrair o ponto encontrado no passo anterior do nosso ponto da curva.
Temos então que:
Mas, pra não ficar levando esse sinal de menos por resto, vamos multiplicar esse vetor por : assim, alteramos o sentido, mas não a direção do vetor, que é o que importa! Então,
Passo 8
Usando a fórmula da reta para quando temos um ponto e um vetor, conseguimos, agora, parametrizar a reta normal à curva!
Resposta
Encontramos, então, a reta