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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada por r t = sen ⁡ 4 t ,   2 b t + 1     t ∈ R , onde b ≠ 0 é uma constante. Para que valor de b a reta tangente a C no ponto ( 0 ,   1 ) passa pelo ponto ( 2 ,   5 ) ?

(a) 1 / 2

(b) 4

(c) - 1

(d) 0

(e) 8

Passo 1

Vamos calcular a equação da reta tangente a C no ponto ( 0 ,   1 ) , basta seguir o passo-a-passo!

Primeiro vamos encontrar o t 0 no qual r t 0 = ( 0 ,   1 ) :

r t 0 = sen ⁡ 4 t 0 ,   2 b t 0 + 1 = ( 0 ,   1 )

Então vamos ter o sisteminha

sen ⁡ 4 t 0 = 0 ⇒ 4 t 0 = 0 2 b t 0 + 1 = 1 ⇒ 2 b t 0 = 0 ⇒ t 0 = 0

Passo 2

Beleza, agora temos que calcular r ' ( t ) . Com a regra da cadeia, temos

d d t sen ⁡ ( 4 t ) = 4 cos ⁡ ( 4 t )

d d t 2 b t + 1 = 1 2 2 b t + 1 - 1 2 ( 2 b )

⇒   d d t 2 b t + 1 = 2 b 2 2 b t + 1

Portanto,

r ' t = 4 cos ⁡ 4 t ,   2 b 2 2 b t + 1

Passo 3

Show! Agora vamos achar r ' t 0 = r ' 0 :

r ' 0 = 4 cos ⁡ 0 ,   2 b 2 0 + 1

⇒ r ' 0 = ( 4 ,   b )

Passo 4

Então a equação da reta tangente a C em ( 0 ,   1 ) , para um b genérico, é:

r 0 + r ' 0 t = 0 ,   1 + 4 ,   b t = 4 t ,   1 + b t

Queremos que a reta passe pelo ponto ( 2 ,   5 ) , então

4 t = 2 1 + b t = 5

A primeira equação dá t = 1 2 . Substituindo na segunda, obtemos

1 + b 2 = 5

⇒ b 2 = 4

⇒ b = 8

Resposta

Alternativa (e)

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