Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada por: x = ln ⁡ t y = t ,   t > 0 . A reta tangente a C no ponto 0,1 corta o eixo x no ponto:

a)   - 2,0

b)   ( - 1 / 2 ,   0 )

c)   2 ,   0

d) ( ln ⁡ 2 , 0 )  

e)   1,0  

f) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor tangente a curva no ponto. Temos:

C ' t = 1 t , 1 2 . 1 t

Porém no ponto 0,1 , temos t = ± 1 . Temos de lembrar que t > 0 , então t = 1 . Fica:

C ' 1 = 1 , 1 2  

Passo 2

Encontrando a equação da reta tangente, vamos ter:

x = 0 + λ ,   y = 1 + 1 2 λ ,   λ   ∈ R

r λ = λ ,   1 + 1 2 λ   ,   λ   ∈ R

Passo 3

Ele quer o ponto onde esse reta tangente corta o eixo x . Isso ocorre quando y = 0 , substituindo temos:

y = 0

1 + 1 2 λ = 0

Chegamos a

λ = - 2

Logo:

x = λ = - 2

O ponto é:

x , y = - 2,0

Resposta

a)   - 2,0

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