Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

onde t ≥ 0 .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva C no ponto P 1,0 , 1 .

Passo 1

Cara, as equações simétricas de uma reta são relações cartesianas que descrevem essa reta no espaço, mas como ela está em x , y , z , precisamos ser um pouquinho mais criativos para achar elas.

Um caminho para fazer isso é achar as equações paramétricas dessa curva no ponto dado e depois as simétricas. Como?

Cara, a gente acha a equação paramétrica usando essa fórmulinha:

σ s = P 0 + r ' t 0   s

Onde P 0 é o ponto que pertence a nossa reta, então a gente pode dizer do enunciado que

P 0 = ( 1,0 , 1 )

E s é só um parâmetro que a gente vai usar, para não usar t de novo. Vem comigo para saber mais!

Passo 2

r ' t 0 é a derivada de r t no ponto t 0 . E quem é t 0 ? É o valor de t para o ponto P 0 = 1,0 , 1 . A gente acha ele usando a equação da nossa curva, assim:

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

r t 0 = e t 0 cos ⁡ 3 t 0 ,   e t 0 s e n 3 t 0 ,   e 2 t 0 = 1,0 , 1  

Da componente z , a gente tira a relação

e 2 t 0 = 1 ∴ t 0 = 0

Daí temos que

r ' t 0 = r ' 0

Passo 3

Vamos calcular esse cara então:

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t

r ' t = e t cos ⁡ 3 t - 3 e t   s e n 3 t ,   e t s e n 3 t + 3 e t cos ⁡ 3 t ,   2 e 2 t

r ' 0 = 1 - 0 ,   0 + 3 ,   2

r ' 0 = 1 ,   3 ,   2

Aí nossas equações paramétricas ficam:

σ s = P 0 + r ' t 0   s

σ s = 1,0 , 1 + 1,3 , 2   s

σ s = 1 + s , 3 s , 1 + 2 s

Beleza!

Passo 4

Agora a gente pode achar as equações simétricas daí. Como?

Queremos relações entre x , y , z para descrever nossa reta. As equações paramétricas dizem que

σ s = 1 + s , 3 s , 1 + 2 s

x = 1 + s ,     y = 3 s ,     z = 1 + 2 s

O que a gente pode fazer é isolar s em todas elas:

s = x - 1 ,     s = y 3 ,     s = z - 1 2

Temos 3 expressões para s , podemos igualar todas elas!

x - 1 = y 3 = z - 1 2

Prontinho! Achamos as equações que queríamos.

Resposta

x - 1 = y 3 = z - 1 2

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