Considere a curva definida pela função vetorial
onde .
Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Cara, as equações simétricas de uma reta são relações cartesianas que descrevem essa reta no espaço, mas como ela está em , precisamos ser um pouquinho mais criativos para achar elas.
Um caminho para fazer isso é achar as equações paramétricas dessa curva no ponto dado e depois as simétricas. Como?
Cara, a gente acha a equação paramétrica usando essa fórmulinha:
Onde é o ponto que pertence a nossa reta, então a gente pode dizer do enunciado que
E é só um parâmetro que a gente vai usar, para não usar de novo. Vem comigo para saber mais!
Passo 2
é a derivada de no ponto . E quem é ? É o valor de para o ponto . A gente acha ele usando a equação da nossa curva, assim:
Da componente , a gente tira a relação
Daí temos que
Passo 3
Vamos calcular esse cara então:
Aí nossas equações paramétricas ficam:
Beleza!
Passo 4
Agora a gente pode achar as equações simétricas daí. Como?
Queremos relações entre para descrever nossa reta. As equações paramétricas dizem que
O que a gente pode fazer é isolar em todas elas:
Temos 3 expressões para , podemos igualar todas elas!
Prontinho! Achamos as equações que queríamos.