Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 2)

(a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial r t = t 2 , t ,   0 ≤ t ≤ 2 , e desenhe os vetores r 1 ,   r 1,1 e r 1,1 - r ( 1 ) .

(b) Desenhe o vetor r ' ( 1 ) começando em (1, 1) e compare com o vetor

r 1,1 - r 1 0,1

Explique porque esses vetores estão tão próximos um do outro tanto em módulo quanto em direção e sentido.

Passo 1

Oieeee galera, vamos lá ficar craques nas funções vetoriais?

a) Nesse item, queremos primeiramente desenhar a curva r ( t ) , descrita assim:

r t = t 2 , t ,   0 ≤ t ≤ 2

A curva descrita pela função vetorial dada pode ser representada pelas equações paramétricas

x = t ² y = t ,         0 ≤ t ≤ 2

Da segunda equação, temos que

y = t

Enquanto na primeira equação, temos

x = t ²

Juntando as duas, temos que

x = y 2 ,   0 ≤ y ≤ 2  

Temos uma função quadrática de x em y , certo?

A curva representa uma função quadrática cuja forma é um “pedaço” de uma parábola com concavidade para a direita já que y está limitado ao intervalo [0,2]. Essa aqui é a curva r ( t ) :

Passo 2

Showww, agora queremos encontrar os vetores r 1 ,   r 1,1 e r 1,1 - r ( 1 )

Para encontrarmos r 1   e   r 1,1 , vamos só substituir os valores de t na equação da curva, fechou?

r t = t 2 , t

Encontrando r ( 1 ) :

r 1 = 1 2 ; 1 = ( 1 ;   1 )

E agora encontrando r ( 1,1 ) :

r 1,1 = 1,1 2 ; 1,1 = ( 1,21 ; 1,1 )

E agora a diferença entre eles:

r 1,1 - r 1 = 1,21 ; 1,1 - 1 ; 1 = ( 0,21 ; 0,1 )

O gráfico abaixo mostra um esboço da curva e dos vetores de posição r ( 1 ) e r ( 1,1 ) , além do vetor r 1,1 - r ( 1 ) , top?

Ihuuuu, a letra a ta paga

Passo 3

b) Nesse item, queremos primeiro encontrar r ' ( 1 ) , ou seja, a derivada da curva aplicada em t = 1 . Para obter o vetor r ' ( t ) basta derivar individualmente os componentes do vetor r ( t ) , igual a gente fazia lá em cálculo 1 sabe?

r t = t 2 , t         →             r ' t = ( 2 t ,   t )

Assim, para t = 1 , temos r ' 1 = ( 2 ,   1 ) .

Aí, vamos comparar esse r ' ( 1 ) com o r 1,1 - r 1 0,1

Que vai ser:

r 1,1 - r 1 0,1 = ( 0,21 ; 0,1 ) 0,1 = ( 2,1 ; 1 )

Legal, vamos lá comparar esses vetores

Passo 4

No gráfico abaixo, a gente consegue ver o r ' ( 1 ) e o r 1,1 - r 1 0,1 , vamos comparar

Realmente vemos que os vetores são muito próximos em módulo, direção e sentido, né???

Mas isso faz sentido! Por definição, a derivada de uma função vetorial r ( t ) é dada por

r ' t = lim h → 0 ⁡ r t + h - r t h

Para t = 1 temos

r ' 1 = lim h → 0 ⁡ r 1 + h - r 1 h

Ou seja: o vetor calculado no final do passo anterior é igual à expressão dentro do limite anterior com h = 0,1 .

Como 0,1 é próximo de 0, é toootal esperado que esses vetores sejam parecidos, sacou?

E é issoooo

Resposta

a)

r 1 = ( 1 ;   1 )

r 1,1 = ( 1,21 ; 1,1 )

r 1,1 - r 1 = ( 0,21 ; 0,1 )

b) r 1,1 - r 1 0,1 = ( 2,1 ; 1 )

r ' 1 = ( 2 ,   1 )

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