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Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.3c

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(c) ∫ 3 , - 1 4 , - 2 y x d x - x y d y ao longo da rela y = 2 - x .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ 3 , - 1 4 , - 2 y x d x - x y d y ao longo da reta y = 2 - x .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos parametrizar a curva de integração a aplicar essa parametrização a nossa integral.

Ou seja, a ideia é obter uma integral de apenas uma variável e pra isso temos que parametrizar a reta y = 2 - x .

Podemos chamar x = t e consequentemente y = 2 - t . Assim onde tiver x substituímos por t e onde tiver y substituímos por 2 - t .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se x = t , então d x = d t .

Agora se y = 2 - t , derivando nos dois lados, então d y = - d t .

Além disso se a integral varia entre 4 , - 2 e 3 , - 1 temos que t varia entre 3 ≤ t ≤ 4 .

Adaptando nossa integral, temos

∫ 3 , - 1 4 , - 2 y x d x - x y d y → ∫ 3 4 2 - t t d t - t 2 - t - d t

∫ 3 4 2 - t t d t + t 2 - t d t

∫ 3 4 2 - t t + t 2 - t d t

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t

Integrando pelo método de integração polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ 2 t - 1 + t 2 - t d t = - 2 t + 2 ln ⁡ t - 2 ln ⁡ 2 - t

Aplicando os limites de integração

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = - 2 4 + 2 ln ⁡ 4 - 2 ln ⁡ 2 - 4 - - 2 3 + 2 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 3

Simplificando o resultado...

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = - 8 + 2 ln ⁡ 4 - 2 ln ⁡ - 2 - - 6 + 2 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ - 1

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = - 8 + 2 ln ⁡ 4 - 2 ln ⁡ - 2 + 6 - 2 ln ⁡ 3

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = 2 ln ⁡ 4 - 2 ln ⁡ - 2 - 2 ln ⁡ 3 - 2

Pelas propriedades logarítmicas, temos que

ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a b

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

a ln ⁡ b = ln ⁡ b a

Logo

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = ln ⁡ 4 2 - ln ⁡ - 2 2 - ln ⁡ 3 2 - 2

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = ln ⁡ 16 - ln ⁡ 4 - ln ⁡ 9 - 2

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = ln ⁡ 16 - ln ⁡ 4 · 9 - 2

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = ln ⁡ 16 4 · 9 - 2

∫ 3 4 2 t - 1 + t 2 - t d t = ln ⁡ 4 9 - 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

ln ⁡ 4 9 - 2

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