3. Calcule o VOLUME do sólido obtido pela rotação ao redor do EIXO Y da região delimitada pelos gráficos de , e as retas verticais e .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que calcular o volume de um sólido formado ao rotacionarmos uma região no eixo .
Para fazermos esse calculo vamos aplicar a seguinte fórmula:
Então agora nós temos que encontrar quem é essa função e quem são os limites de integração.
Agora lá!
Passo 2
Vamos começar achando os limites de integração! Para isso, vamos traçar todas as linhas que delimitam a nossa região em um gráfico.
Onde a reta verde representa o gráfico ; a linha azul é referente ao gráfico ; e as linhas vermelha e laranja são as retas verticais e , respectivamente.
Como vamos rotacionar no eixo , pelo gráfico, temos que ela é limitada por e .
E está entre as curvas: e .
Agora bora montar a nossa integral!
Passo 3
Passando tudo para a fórmula do volume, ficamos com
Ajeitando, isso será
Agora vamos resolver essa integral!
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos aplicar a regra do polinômio para cada termo,
Com isso, chegamos em