Lista de exercícios 9 – UFABC - Funções de uma variavel– questão 10 item b
Encontre o volume do sólido que permanece depois que um furo circular de um raio é perfurado através do centro de uma esfera sólida de raio por:
b) Cascas cilindricas
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?
Se liga só, nós queremos saber qual o volume que sobre de uma esfera depois que perfura ela, você concorda que se obtermos o volume da esfera e subtrairmos o volume do furo, obteremos o volume do sólido que resta?
Dessa forma:
O método das cascas cilíndricas é da seguinte forma:
Ou:
Depende de qual eixo você quer rotacionar
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Primeiro o volume da esfera:
Sabemos que a função da esfera é dada por:
E se colocarmos no centro, x varia de um lado do diâmetro ao outro, ou seja, . Assim:
Aaahh... Essa equação vai nos dar resultado nulo, então podemos intuir que se obtermos um lado do volume da esfera, a metade, e multiplicarmos por 2, obteremos ao fim o volume total, concorda? Assim:
Façamos de forma que , e quando:
Assim:
Sabemos que essa integral usa a técnica das integrais que é:
Assim:
À titulo de interesse, carinha: C.q.d significa “como queríamos demosntrar”
Agora para o volume que foi formado pelo furo:
Coloquemos o cilindro com altura h, e o raio a como é dado, assim:
Logo temos tudo definido já, e o eixo de de rotação é o eixo x, assim:
Passo 3
Assim o volume que resta do furo é:
É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui
