Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

4y = x^3, y = -x^2 + 2x, y >= 0 : e m t o r n o n o e i x o x e r e t a x = -3

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = x 3 e a curva y = - x 2 + 2 x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

É dado pela seguinte integral:

V = π ∫ 0 1 2 x - x 2 2 - x 3 2 d x ∴

V = π ∫ 0 1 ( 4 x 2 - 4 x 3 + x 4 ) d x - ∫ 0 1 x 6 d x ∴

V = π 4 3 - 1 + 1 5 - 1 7 ∴ V = 41 π 105

Passo 3

Agora, em torno da reta x = - 3 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 0 1 ( 3 + x ) ( 2 x - x 2 - x 3 ) d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( 3 + x ) é pra escolher o eixo de rotação.

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 0 1 - x 4 - 4 x 3 - x 2 + 6 x   d x ∴

V M C C = 2 π - 1 5 - 1 - 1 3 + 3 ∴

V M C C = 44 π 15

Legal ne??? Vamos para a próxima!! Valeeeeu!!

Resposta

V = 41 π 105

V M C C = 44 π 15

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