Seja a região plana definida por:

Considere o sólido de revolução obtido através da rotação da região em torno do eixo .

(a) Esboce a região

(b) Usando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou como uma soma de integrais.

(c) Calcule o volume de S.

Esboçar as limitações em

Show, vamos ver agora as limitações em . Pelo enunciado:

Agora, saca só: quando está no seu ponto mínimo, que é , o vai estar entre:

Vamos então marcar esses pontos:

E quando quando está no seu ponto máximo, que é , o vai estar entre:

Marcando esses pontos:

Tudo o que falta agora é ligar os pontos até e até . Só que como é limitado por duas funções, o caminho que esses pontos vão fazer até se ligarem é a própria curva dessas funções. Beleeeza, vamos então traçar.

Ligamos até pela função que limita por cima, que é a função exponencial . Sendo assim:

E pra gente fechar e partir pro abraço, ligamos até pela função que limita por cima, que é a reta . Sendo assim:

Nossa região então vai ser o que está dentro, logo:

(a) Escolher um método e escrever a integral

Pra gente conseguir escrever a integral, vamos pensar nossa região de uma forma diferente. Nossa região que era:

Pode ser “deitada” se invertermos as funções e escrevêssemos elas como funções . Partiu então?

Graficamente:

O volume de uma região qualquer, pelo método dos discos, vai ser então:

E agora basta a gente entender como usar essa fórmula. Dá uma olhada aqui:

A região , quando revolucionada, gera um cone, a região , um cilindro e a região , meio que um “copo”. Como a região é igual à , temos que diminuir do volume do cilidro o volume do copo. Ou seja, nosso volume vai ficar:

(b) Resolvendo a primeira integral

Agora é só trabalho braçal pra resolver a integral mesmo. Vamos aos poucos pra não nos confundirmos. A primeira integral vai ser:

E resolvendo a malandra, vamos ter:

(b) Resolvendo a segunda integral

A segunda integral vai ser:

Essa ai também tiramos de letra, só partir pra resolução:

(b) Resolvendo a terceira integral

Essa vai ser a integral mais complicadinha de resolver. A terceira vai ser:

Vamos primeiro fazer uma substituição simples pra tirar o dai. Vamos fazer:

Se fizermos:

Vamos poder integrar por partes e ficar com:

E aplicando os limites de integração:

Infelizmente vamos ter que integrar por partes de novo porque ainda sobrou um logarítimo dentro da integral. Se fizermos:

Ficamos com:

Aeee, sem integrais restantes! Agora vamos juntar os resultados todos. Mas antes, vamos aplicar os limites de integração de novo:

Agora vamos unir todos os resultados. O que a gente achou foi:

Então se juntarmos tudo no liquidificador e apertar o Start:

(b) Juntando o resultado das 3 integrais

Ufa, finalmente. Pra terminarmos e acharmos o volume a gente só precisa unir o resultado das 3 integrais. Vamos lá então e depois é só partir pro abraço: