(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(a) o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do hexágono regular inscrito no círculo x - 2 2 + y 2 = 1 ao redor do eixo y .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que aplicar o teorema de Pappus-Guldin para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, através do eixo y , do hexágono regular inscrito no círculo dado pela equação x - 2 2 + y 2 = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O teorema de Pappus-Guldin nos diz que o volume de um solido de revolução é dado por

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância do centroide da área a ser revolucionada e A é sua área.

Primeiramente vamos obter o gráfico da área que vamos revolucionar, calcular sua área e a distância do seu centroide até o eixo de rotação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Esboçando a circunferência x - 2 2 + y 2 = 1 com o hexágono inscrito temos...

Perceba que o centroide do hexágono e o centroide do círculo são os mesmos, portanto podemos calcular r - como

r - = 2 - 0 2 = 2

A pode ser calculado a partir da equação

A = 3 L 2 3 2

Como nosso hexágono é regular, então L é igual ao raio da circunferência, ou seja

L = 1

Portanto...

A = 3 1 2 3 2 = 3 3 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo A e r - na fórmula do teorema, temos

V = 2 π r - A

V = 2 π 2 3 3 2

V = 6 3 π

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

V = 6 3 π

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em