Seja a região compreendida entre os gráficos de e para , como mostra a figura abaixo:
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno de .
Passo 1
Giramos em torno do eixo . Vou tentar a integral por cascas cilíndricas, para não ter o trabalho de ter que inverter as funções e os limites de integração. Se fizermos assim, nós ficaremos com o volume sendo a rotação do gráfico azul menos a do gráfico vermelho em torno do eixo :
Os limites de integração são os mesmos, assim como as funções:
O primeiro termo da integral pode sofrer a seguinte substituição para ser resolvido:
Passo 2
Assim, sendo a outra integral a de um polinômio normal, ficamos assim:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em