UFCG – Cálculo Diferencial e Integral II – 2022.1 – Lista 3
13. Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:
a) eixo
Passo 1
Falaaa... Belezinha?
Essa questão está pedindo pra usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo , da região sombreada.
Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.
Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.
E usar a equação:
Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?
Passo 2
Vamos fazer aparecer o tal do cilindro.
Como a rotação é em torno do eixo , vamos traçar uma “linha”, de largura , paralela ao eixo ligando a curva e a reta que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.
Daí podemos já dizer quem é quem.
Como escolhemos uma paralela ao eixo para traçar o lado do cilindro, então o raio desse cilindro vai se paralelo ao eixo :
E a espessura da linha é .
Já, para , temos que é entre os valores de e . Então:
Passo 3
Agora é só jogar tudo na equação:
Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?
Repare, na imagem, que varia de a . Então:
Resolvendo:
Acabamos mais uma. Bora pra próxima?