Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

(d) x + y = 3; x = 4 - (y - 1)^2 , em torno do eixo x.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo x a região   x   +   y   =   3 ;   x   =   4   −   ( y   −   1 ) 2 . Para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, escolhemos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo x é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   y   h   d y

sendo:

y o raio do cilindro formado;

x = 4   −   ( y   −   1 ) 2 - ( 3 - y ) a altura do cilindro;

d y a largura da casca.

Então o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 0 3 y ( 3 y - y 2 )   d y

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 0 3 3 y 2 - y 3 )   d y

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = 2 π   ( y 3 - y 4 4 ) | 0 3 = 2 π ( 27 - 81 4 )

V = 27 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 27 2 π ;

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