Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

(a) y = 1 / x, y = 0; x = 1; x = 2 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   y = 1 x ,   y = 0 ;   x = 1 ;   x = 2 . Foi pedido para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, sendo esse método aplicado quanto temos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo y é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   x   y   d x

sendo:

x o raio do cilindro formado;

y = 1 x a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 1 2 x   1 x   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 1 2 x   1 x   d x

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = 2 π   ∫ 1 2 d x = 2 π   ( x ) | 1 2 = 2 π ( 2 - 1 ) = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 2 π ;

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