UFCG – Cálculo Diferencial e Integral II – 2022.1 – Lista 3
12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
d)
Passo 1
E aiiii, belezinha?? Vamos matar essa questão juntos?
Aqui está sendo pedido pra gente usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo , da região limita pela curva e pela reta .
Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.
Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.
E usar a equação:
Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?
Passo 2
Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.
Para , temos a equação de uma parábola, certo? Maaas no eixo
E para , temos uma reta que corta os eixos.
Vamos aproveitar e já calcular esses dois pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações das curvas:
Daí temos dois valores possíveis. Ou:
E, substituindo nas equações, .
Ou:
E, substituindo nas equações, .
Passo 3
Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.
Como a rotação é em torno do eixo , vamos tração uma “linha”, de largura , paralela ao eixo ligando as duas curvas. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.
Daí podemos já dizer quem é quem.
Como escolhemos uma paralela ao eixo para traçar o lado do cilindro, então .
E a espessura da linha é .
Já, para , temos que é da reta até a parábola. Mas, ATENÇÃO, como o valor de aumenta da esquerda para direita, então será “parábola menos reta”.
Passo 4
Agora é só jogar tudo na equação:
Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?
No final do passo 2 achamos os pontos de intersecção. Daí podemos ver, então que varia entre 0 e 1. Então:
Resolvendo:
Ufaaa... Acabamos essa. Bora pra próxima?