A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

d. x = raiz(2y) / (y^2 + 1) , x = 0 , y = 1 ; em torno do eixo y.

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! A maior dificuldade dessa questão tá na gente conseguir imaginar como ficaria o gráfico dessa questão. Temos isso aqui:

Passo 2

Beleza, agora vamos armar nossa integral. Pra o volume da nossa região em torno do eixo y, temos:

V S = π   ∫ 2 y 2 y 2 + 1   d y

Vamos resolver ela pelo método da substituição. Os limites de integração vai ser justamente 0 e 1, valores que limitam a região do gráfico.

Passo 3

Por fim vamos calcular a integral. Bem tranquila, saca só:

V S = π ∫ 0 1 2 y 2 y 2 + 1 d y

Adotaremos u = y 2 + 1 ,   d u = 2 y d y . Portanto nossa integral fica assim:

V S = π ∫ 1 2 d u u 2 = π ∫ 1 2 u - 2 d u

= π u - 2 + 1 - 2 + 1 ​ 1 2

= π u - 1 - 1 ​ 1 2

= - π u ​ 1 2

V s = - π 2 - - π 1 = π 2

Resposta

V s = π 2

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