UFCG – Cálculo Diferencial e Integral II – 2022.1 – Lista 3
12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
e)
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Essa questão está pedindo pra gente usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo , da região limitada pela curva e pela reta.
Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.
Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.
E usar a equação:
Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?
Passo 2
Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.
Para , temos uma reta que é espelhada pra cima nos valores negativos de , é a reta verde.
E para , temos uma reta paralela ao eixo em , que no caso é a reta azul.
Vamos aproveitar e já calcular esses dois pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações das curvas:
Daí temos dois valores possíveis. Ou:
E já temos que .
Ou:
Também já temos que .
Além disso, temos um terceiro ponto, que é a pontinha do triângulo. Esse ponto também vai ser importante. Ele está em e , bem na origem.
Passo 3
Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.
Como a rotação é em torno do eixo , vamos traçar uma “linha”, de largura , paralela ao eixo ligando as duas retas que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.
Daí podemos já dizer quem é quem.
Como escolhemos uma paralela ao eixo para traçar o lado do cilindro, então .
E a espessura da linha é .
Já, para , temos que é apenas entre os valores de . Na parte em que tem valores negativos temos , mas estamos trabalhando com , então . E na parte que tem valores positivos . Então:
Passo 4
Agora é só jogar tudo na equação:
Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?
No final do passo 2 achamos pontos importantes, que as curvas se cruzam. Daí podemos ver, então que varia entre 0 e 1. Então:
Resolvendo:
Acabamos mais uma. Partiu pra próxima?