Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

(b) y = 3 + 2x - x^2, y + x = 3 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   y = 3 + 2 x - x 2 ,   y + x = 3 . Foi pedido para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, sendo esse método aplicado quanto temos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo y é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   x   h   d x

sendo:

x o raio do cilindro formado;

h = ( 3 + 2 x - x 2 ) - ( 3 - x ) a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então, observando o gráfico para determinar os limites de integração, o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 0 3 x   ( 3 x - x 2 )   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 0 3 ( 3 x 2 - x 3 )   d x

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = 2 π   ( x 3 - x 4 4 ) | 0 3 = 2 π ( 3 3 - 3 4 4 ) = 27 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 27 2 π ;

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