Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

(h) y = 2 / (1 + x^2); y = x^2; x = 1; x = 2 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   y   =   2 1 + x 2 ;   x   =   1 ;   x = 2 . Foi pedido para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, sendo esse método aplicado quanto temos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo y é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   x   h   d x

sendo:

x o raio do cilindro formado;

h =   x 2 - 2 1 + x 2 a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então, observando o gráfico para determinar os limites de integração, o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 1 2 x   ( x 2 -   2 1 + x 2 )   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver as integrais

V = 2 π   ∫ 1 2 x 3 d x - 2 π   ∫ 1 2 2 x 1 + x 2   d x

Então, resolvendo a integral, a segunda por substituição simples u = 1 + x 2 , e aplicando os limites

V = 2 π ( x 4 4 -   ∫ x = 1 2 1 u   d u ) = 2 π ( x 4 4 -   l n ( 1 + x 2 ) ) | 1 2 = 2 π   ( 4 - 1 4 - l n ( 5 ) + l n   ( 2 ) )

V = 2 π   ( 15 4 - l n ( 5 2 ) )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 2 π   ( 15 4 - l n ( 5 2 ) ) ;

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