UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 5 – Questão 15
Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial e um ângulo com a horizontal. No topo da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais (figura abaixo). Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. Suponha que o terreno é nivelado e despreze a resistência do ar. A que distância do canhão cai o outro fragmento?
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Temos inicialmente um lançamento oblíquo (na vertical temos um MRUV e na horizontal um MRU) e no ponto mais alto da trajetória, ou seja, quando a componente vertical da velocidade é zero, o projétil explode e se divide em dois pedaços
Ele nos diz que um pedaço cai verticalmente para baixo, com velocidade inicial zero. E ele nos pede para calcular a que distância o outro projétil cai.
Para isso, vamos analisar o movimento de cada projétil, antes e depois da explosão. Começando pela velocidade e posição antes da explosão. Com esses dados, e com o fato de que o momento linear deve ser conservado, podemos encontrar a velocidade dos projéteis depois da colisão e encontrar a distância um do outro.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade e a posição do projétil instantaneamente antes da explosão. Beleza?
Para isso, devemos lembrar que no ponto mais alto a componente da velocidade é nula, lembrando que a componente da velocidade em função do tempo é:
Assim, no ponto mais alto:
Isolando :
Tranquilo?
Passo 3
Com o tempo em mãos, podemos calculcar a posição da projétil no ponto da explosão. Usando a função horária da posição para determinar a posição em :
Substituindo os valores:
E a função da posição para um MRU para determinar a posição em :
Substituindo os valores:
Assim, a posição onde ocorre a explosão é
Ok? Agora vamos encontrar a velocidade do projétil no momento da explosão!
Passo 4
Lembrando que no eixo não há aceleração, então a velocidade em é constante:
Portanto, a velocidade do projétil no momento da explosão é
Tranquilo até aqui? Agora BOOOM aconteceu a explosão!
Passo 5
Como ocorreu uma explosão, podemos aplicar a conservação do momento linear entre os instantes imediatamente antes da explosão e imediatamente depois, assim:
Como o projétil foi dividido em pedaços iguais e que um pedaço possui velocidade nula após a explosão, então:
Daqui podemos igualar as componentes dos vetores e determinar as velocidades e do outro projétil
Calculando para o eixo :
Isolando :
E, agora, para o eixo :
Beleza?
Passo 6
Agora, devemos analisar apenas o movimento do segundo fragmento. Como a componente da velocidade é nula e a aceleração é a gravidade, então:
Onde o já foi calculado, que é a posição onde ocorre a explosão, . Assim, calculando o tempo que ele chega em :
Isolando :
Passo 7
Calculado agora a componente posição do fragmento do projétil no instante , lembrando que este é um MRU, portanto:
Com e :
Portanto, o projétil cai a do canhão.
E é isso! Espero ter ajudado!