Um rojão, lançado segundo um ângulo de 45   ° , explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de 25 m; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100   g , cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90   m de distância do ponto de lançamento. O outro fragmento tem massa igual a 50   g .

(a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância do ponto de lançamento que o fragmento mais leve cai. Aqui o centro de massa dos fragmentos continua caindo e seguindo a trilha do rojão. Então, pra descobrir essa distância horizontal, basta utilizarmos a fórmula do alcance do projétil:

A = x C M = v 0 2 g sin ⁡ 2 θ

Mas a gente não conhece o valor da velocidade inicial v 0 . Para encontra-la, vamos usar a informação da altura máxima, que é onde a velocidade vertical é nula. Assim, vamos usar as equações do movimento:

v = v 0 y - g t y = v 0 y t - g t 2 2

Vamos isolar t na primeira equação, fazendo v = 0 , e substituir na segunda equação para encontrar a velocidade inicial v 0 . Assim, nós conseguimos encontrar a distância x C M do centro de massa e usar a fórmula:

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2

Onde vamos encontrar a distância x 2 do fragmento mais leve. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrar uma expressão para o tempo da explosão até a altura máxima. Considerando que no ponto mais alto da trajetória a velocidade é nula, a partir de v = v 0 y - g t , vamos ter:

0 = v 0 y - g t

v 0 y = g t

t = v 0 y g

Mas v 0 y é a componente da velocidade inicial v 0 na direção y , que é dada por v 0 y = v 0 sin ⁡ θ . Sendo assim, teremos:

t = v 0 sin ⁡ θ g

Substituindo essa expressão em y = v 0 y t - g t 2 2 , para y m á x , vamos ter:

y m á x = v 0 sin ⁡ θ v 0 sin ⁡ θ g t - g 2 v 0 sin ⁡ θ g 2

y m á x = v 0 sin 2 ⁡ θ g - v 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 g

y m á x = v 0 2 sin 2 ⁡ θ g

Isolando v 0 2 nessa expressão e substituindo y m á x = 25   m , θ = 45 ° e g = 9,8   m / s 2 , temos:

v 0 2 = 2 g y m á x sin 2 ⁡ θ = 2 ∙ 9,8 ∙ 25 2 2 2

v 0 2 = 980   m / s 2

Passo 3

Conhecendo o valor de v 0 2 , podemos usar a fórmula do alcance máximo para obter:

A = x C M = v 0 2 g sin ⁡ 2 θ

x C M = 980 9,8 sin ⁡ 90 °

x C M = 100   m

Assim, sabendo que o primeiro fragmento tem uma massa de m 1 = 100   g e cai em x 1 = 90   m , pra calcular a distância do fragmento de massa m 2 = 50   g , basta usar a fórmula do centro de massa:

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2

100 = 90 ∙ 100 + 50 x 2 100 + 50

Isolando x 2 na equação:

15000 = 9000 + 50 x 2

x 2 = 120   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

120   m

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