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Exercícios Resolvidos de Conservação do Momento Linear

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Enunciado

UFF, Física 1, Prova 1, 2016.1

Um corpo de massa 3 M , movendo-se no sentido positivo do eixo-x a uma velocidade v 0 , se rompe em duas partes cujas massas são M e 2 M , conforme mostrado na figura. Determine as rapidezes finais das partes em função de v 0 .

  1. v 1 = 2 2 + 1 v 0 ; v 2 = 6 3 + 1 v 0
  2. v 1 = 3 3 + 1 v 0 ; v 2 = 3 2 3 + 1 v 0
  3. v 1 = 2 2 v 0 ; v 2 = 4 3 v 0
  4. v 1 = 3 2 3 + 1 v 0 ; v 2 = 3 3 + 1 v 0
  5. v 1 = 2 2 v 0 ; v 2 = 3 4 v 0

Passo 1

Essa é uma questão de conservação do momento linear bidimensional.

Por isso, vamos dividir nos dois eixos:

∆ p x = 0

∆ p y = 0

E também cada velocidade após a colisão pode ser separada em duas componentes

v → = v x x ^ + v y y ^ = v c o s θ x ^ + v s e n θ y ^

Começando pelo eixo x , temos que todas as velocidades são positivas já que estão apontando para a direita:

3 M v 0 = 2 M c o s 30 ° v 2 + M c o s 45 ° v 1

Dividindo por M

3 v 0 = 2 c o s 30 ° v 2 + c o s 45 ° v 1

Substituindo os cossenos

3 v 0 = 2 × 3 2 v 2 + 2 2 v 1

3 v 0 = 3 v 2 + 2 2 v 1

Beleza! Agora partimos para o eixo y .

Passo 2

Vamos analisar agora o eixo y :

∆ p y = 0

p f = p i

O momento inicial em y é nulo já que a partícula inicial tem velocidade horizontal.

p f = 0

Agora a partícula de massa 2 M tem velocidade na direção y positiva por que está indo para cima e a partícula de massa M tem velocidade negativa por que está indo para baixo

2 M s e n 30 ° v 2 - M s e n 45 ° v 1 = 0

Dividindo por M

2 s e n 30 ° v 2 - s e n 45 ° v 1 = 0

Substituindo os senos

2 × 1 2 v 2 - 2 2 v 1 = 0

v 2 = 2 2 v 1

Passo 3

Agora temos um sisteminha de equações. Como achamos v 2 no passo anterior basta substituir na equação que achamos no passo 1

3 v 0 = 3 v 2 + 2 2 v 1

3 v 0 = 3 2 2 v 1 + 2 2 v 1

Botando 2 v 1 / 2 em evidencia do lado direito da equação

3 v 0 = 3 + 1 2 2 v 1

Isolando v 1

v 1 = 6 v 0 2 3 + 1

Racionalizando

v 1 = 6 v 0 2 3 + 1 × 2 2 = 6 2 v 0 2 3 + 1

v 1 = 3 2 v 0 3 + 1

Passo 4

Agora vamos achar v 2 . Como

v 2 = 2 2 v 1

Basta substituir

v 2 = 2 2 3 2 v 0 3 + 1 = 3 × 2 v 0 2 3 + 1

v 2 = 3 v 0 3 + 1

Resposta

D )   v 1 = 3 2 3 + 1 v 0 ; v 2 = 3 3 + 1 v 0

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