Três partículas A , B e C , deslizando sobre uma mesa horizontal sem atrito, se aproximam da origem de um sistema de eixos O X Y no plano da mesa. Todas as três partículas atingem a origem simultaneamente e permanecem unidas após a colisão, sem perder contato com a mesa, deslocando-se ao longo do eixo O X no sentido positivo com velocidade de módulo V desconhecida. As partículas A , B e C têm massas respectivas m A = m , m B = 3 m e m C = 4 m , onde m é uma constante conhecida. Antes da colisão as partículas têm velocidades de módulos respectivos v A = 3 v , v B = v e v C = 2 v , onde v é uma constante conhecida. A partícula C tem velocidade na direção e sentido do eixo O X e a partícula B tem velocidade com direção e sentido indicados na figura por meio do ângulo conhecido β   0 < β < π / 2 . A velocidade da partícula A tem o sentido indicado na figura mas sua direção é desconhecida e indicada pelo ângulo α   0 < α < π / 2 a ser determinado. Calcule

  1. O ângulo α ;
  2. O módulo V da velocidade após a colisão em função de v ;
  3. A variação da energia cinética do sistema formado pelas três partículas no processo de colisão.

Passo 1

Como não temos ação de forças externas o momento linear se conserva, precisamos então achar as velocidades antes da colisão para calcularmos os momentos lineares, isso porque

p → antes = p → depois

Vamos começar pela partícula C ,

v → C = 2 v i ^

Agora vamos para a velocidade da partícula A , usando a regra do “COlado/SEparado”

v A x = v A ⋅ cos ⁡ α = 3 v cos ⁡ α

v A y = v A ⋅ sen ⁡ α = 3 v sen ⁡ α

Resultando em

v → A = 3 v cos ⁡ α i ^ + 3 v sen ⁡ α j ^

Passo 2

Agora para a partícula B

v B x = - v B ⋅ cos ⁡ β = - v cos ⁡ β

v B y = - v B ⋅ sen ⁡ β = - v sen ⁡ β

Resultando em

v → B = - v cos ⁡ β i ^ - v sen ⁡ β j ^

Passo 3

Falta agora a velocidade do conjunto após a colisão

V → = V i ^

Passo 4

Os momentos lineares vão ser

p → antes = m A ⋅ v → A + m B ⋅ v → B + m C ⋅ v → C

p → antes = m 3 v cos ⁡ α i ^ + 3 v sen ⁡ α j ^ + 3 m - v cos ⁡ β i ^ - v sen ⁡ β j ^ + 4 m 2 v i ^

p → antes = m v 3 cos ⁡ α - 3 cos ⁡ β + 8 i ^ + m v 3 sen ⁡ α - 3 sen ⁡ β j ^

p → depois = m A + m B + m C V →

p → depois = m + 3 m + 4 m V i ^

p → depois = 8 m V i ^

Passo 5

Como o momento linear do sistema após a colisão só tem componente horizontal devemos ter

m v 3 sen ⁡ α - 3 sen ⁡ β = 0

3 sen ⁡ α - 3 sen ⁡ β = 0

sen ⁡ α = sen ⁡ β

Como α e β são menores que π / 2     ( 90 ° )

α = β

Passo 6

b)

Igualando as componentes horizontais dos momentos lineares antes e depois da colisão

m v 3 cos ⁡ α - 3 cos ⁡ β + 8 = 8 m V

m v 3 cos ⁡ α - 3 cos ⁡ α + 8 = 8 m V

8 m v = 8 m V

V = v

Passo 7

c)

A energia cinética inicial vai ser

K 0 = m A v A 2 2 + m B v B 2 2 + m C v C 2 2

Lembrando que na energia cinética usamos o módulo da velocidade

K 0 = m 3 v 2 2 + 3 m v 2 2 + 4 m 2 v 2 2

K 0 = 9 m v 2 2 + 3 m v 2 2 + 16 m v 2 2

K 0 = 28 m v 2 2 = 14 m v 2

Passo 8

A energia cinética final vai ser

K f = m A + m B + m C V 2 2

K f = 3 m + m + 4 m v 2 2

K f = 8 m v 2 2 = 4 m v 2

Passo 9

A variação de energia cinética vai ser

Δ K = K f - K 0

Δ K = 4 m v 2 - 14 m v 2

Δ K = - 10 m v 2

Resposta

  1. α = β
  2. V = v
  3. Δ K = - 10 m v 2

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