Uma nave espacial de massa m viaja com velocidade constante v → = v 0 i ^ pelo espaço, sem interagir com qualquer outro corpo celeste. Num dado instante, ela explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa m / 4 , passa a deslocar-se com velocidade constante v → 1 = 2 v 0 i ^ + 3 v 0 j ^ . O segundo pedaço, de massa 3 m / 4 , passa a deslocar-se com velocidade constante v → 2 . Todas as respostas abaixo devem ser escritas em termos de m e v 0 .

(a) Calcule o vetor velocidade v → 2 (expresso em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ ).

(b) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema após a explosão? Calcule ou justifique sua resposta.

(c) Calcule a variação da energia mecânica devida à explosão.

Passo 1

a) Como não há forças externas agindo no sistema, temos a conservação do momento linear, certo? Então vamos lá.

P i → = P f →

m v 0 i ^ = m 4 2 v 0 i ^ + 3 v 0 j ^ + 3 m 4 v 2 →

4 v 0 i ^ = 2 v 0 i ^ + 3 v 0 j ^ + 3 v 2 →

Isolando v 2 →

v 2 → = 2 v 0 3 i ^ - v 0 j ^

Passo 2

b) Lembra como se calcula a velocidade do centro de massa? É assim:

v c m → = m 1 v 1 → + m 2 v 2 → m 1 + m 2

Logo:

v c m → = m v 1 → 4 + 3 m v 2 → 4 m 4 + 3 m 4 = 1 4 2 v 0 i ^ + 3 v 0 j ^ + 3 2 v 0 3 i ^ - v 0 j ^

Fazendo as contas:

v c m → = v 0 i ^

Como já era esperado, pois a conservação do momento linear implica na manutenção da velocidade do centro de massa.

Passo 3

c) A diferença entre as energias mecânicas do sistema antes, E i , e depois da colisão, E f , é dada por:

∆ E = E f - E i = 1 2 m 4   4 v 0 2 + 9 v 0 2 + 1 2 3 m 4 4 v 0 2 9 + v 0 2 - m v 0 2 2

∆ E = 1 + 9 4 + 1 3 + 3 4 - 1 m v 0 2 2

∆ E = 5 3 m v 0 2

Resposta

a) v 2 → = 2 v 0 3 i ^ - v 0 j ^

b) v c m → = v 0 i ^

c) ∆ E = 5 3 m v 0 2

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