Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' - 5y' + 6y = 0

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

A equação é da forma:

y ' '   -   5 y '   +   6 y   =   0 .

Para encontrar as soluções gerais dessa equação, podemos primeiro encontrar a equação característica associada:

r 2 -   5 r   +   6   =   0

Podemos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r:

( r   -   2 ) ( r   -   3 )   =   0

Isso nos dá duas raízes distintas: r = 2 e r = 3.

Passo 2

A solução geral para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é dada por:

y ( t )   =   C 1   *   e r 1   *   t   +   C 2   *   e r 2   *   t

onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas), e r1 e r2 são as raízes da equação característica.

Nesse caso, com r1 = 2 e r2 = 3, a solução geral fica:

y t =   C 1   *   e 2   *   t +   C 2   *   e 3   *   t

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se você tiver condições iniciais específicas, poderá determinar os valores de C1 e C2 para obter a solução particular correspondente.

Resposta

y t =   C 1   *   e 2   *   t +   C 2   *   e 3   *   t

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